MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Unicode version

Theorem kgenss 17238
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
21a1i 10 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  C_  U. J ) )
3 elrestr 13333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
433expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
54an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
65a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
76ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
87ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
92, 8jcad 519 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 16671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 elkgen 17231 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
1311, 12sylbi 187 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
149, 13sylibrd 225 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) ) )
1514ssrdv 3185 1  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  kgenhaus  17239  kgencmp  17240  kgencmp2  17241  kgenidm  17242  iskgen2  17243  kgencn3  17253  kgen2cn  17254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-rest 13327  df-top 16636  df-topon 16639  df-kgen 17229
  Copyright terms: Public domain W3C validator