MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Unicode version

Theorem kgenss 17294
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 3892 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
21a1i 10 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  C_  U. J ) )
3 elrestr 13382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
433expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
54an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
65a1d 22 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
76ralrimiva 2660 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
87ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
92, 8jcad 519 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
10 eqid 2316 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 16727 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 elkgen 17287 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
1311, 12sylbi 187 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
149, 13sylibrd 225 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) ) )
1514ssrdv 3219 1  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1701   A.wral 2577    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   ↾t crest 13374   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   Compccmp 17169  𝑘Genckgen 17284
This theorem is referenced by:  kgenhaus  17295  kgencmp  17296  kgencmp2  17297  kgenidm  17298  iskgen2  17299  kgencn3  17309  kgen2cn  17310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-rest 13376  df-top 16692  df-topon 16695  df-kgen 17285
  Copyright terms: Public domain W3C validator