MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenss Structured version   Unicode version

Theorem kgenss 17577
Description: The compact generator generates a finer topology than the original. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenss  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenss
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4045 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  C_  U. J ) )
3 elrestr 13658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
433expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  k  e.  ~P U. J )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
54an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
65a1d 24 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  /\  k  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
76ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
87ex 425 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
92, 8jcad 521 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
10 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1110toptopon 17000 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 elkgen 17570 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
1311, 12sylbi 189 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( x  C_  U. J  /\  A. k  e.  ~P  U. J ( ( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
149, 13sylibrd 227 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  J  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) ) )
1514ssrdv 3356 1  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   A.wral 2707    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Compccmp 17451  𝑘Genckgen 17567
This theorem is referenced by:  kgenhaus  17578  kgencmp  17579  kgencmp2  17580  kgenidm  17581  iskgen2  17582  kgencn3  17592  kgen2cn  17593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-rest 13652  df-top 16965  df-topon 16968  df-kgen 17568
  Copyright terms: Public domain W3C validator