Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgentopon Structured version   Unicode version

Theorem kgentopon 17562
 Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon TopOn 𝑘Gen TopOn

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4028 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen
2 kgenval 17559 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
3 ssrab2 3420 . . . . . . . . 9 t t
42, 3syl6eqss 3390 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen
5 sspwuni 4168 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen
64, 5sylib 189 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen
71, 6sylan9ssr 3354 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen
8 iunin2 4147 . . . . . . . . . 10
9 uniiun 4136 . . . . . . . . . . 11
109ineq2i 3531 . . . . . . . . . 10
11 incom 3525 . . . . . . . . . 10
128, 10, 113eqtr2i 2461 . . . . . . . . 9
13 cmptop 17450 . . . . . . . . . . 11 t t
1413ad2antll 710 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen t t
15 incom 3525 . . . . . . . . . . . 12
16 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn 𝑘Gen t 𝑘Gen
1716sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn 𝑘Gen t 𝑘Gen
18 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn 𝑘Gen t t
19 kgeni 17561 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘Gen t t
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 TopOn 𝑘Gen t t
2115, 20syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . 11 TopOn 𝑘Gen t t
2221ralrimiva 2781 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen t t
23 iunopn 16963 . . . . . . . . . 10 t t t
2414, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
2512, 24syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen t t
2625expr 599 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen t t
2726ralrimiva 2781 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen t t
28 elkgen 17560 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen t t
2928adantr 452 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
307, 27, 29mpbir2and 889 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
3130ex 424 . . . 4 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
3231alrimiv 1641 . . 3 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
33 inss1 3553 . . . . . 6
34 elssuni 4035 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen
3534ad2antrl 709 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
36 ssid 3359 . . . . . . . . . . . 12
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 TopOn
38 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn t
40 dfss1 3537 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn t
4238adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
43 resttopon 17217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn t TopOn
4442, 43sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn t t TopOn
45 toponmax 16985 . . . . . . . . . . . . . . 15 t TopOn t
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn t t
4741, 46eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t t
4847expr 599 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t t
4948ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11 TopOn t t
50 elkgen 17560 . . . . . . . . . . 11 TopOn 𝑘Gen t t
5137, 49, 50mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen
52 elssuni 4035 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen 𝑘Gen
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen
5453, 6eqssd 3357 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen
5554adantr 452 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
5635, 55sseqtr4d 3377 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
5733, 56syl5ss 3351 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
58 inindir 3551 . . . . . . . 8
5913ad2antll 710 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
60 simplrl 737 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t 𝑘Gen
61 simprr 734 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
62 kgeni 17561 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen t t
6360, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
64 simplrr 738 . . . . . . . . . 10 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t 𝑘Gen
6564, 61, 19syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
66 inopn 16964 . . . . . . . . 9 t t t t
6759, 63, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
6858, 67syl5eqel 2519 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
6968expr 599 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
7069ralrimiva 2781 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen t t
71 elkgen 17560 . . . . . 6 TopOn 𝑘Gen t t
7271adantr 452 . . . . 5 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen t t
7357, 70, 72mpbir2and 889 . . . 4 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
7473ralrimivva 2790 . . 3 TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
75 fvex 5734 . . . 4 𝑘Gen
76 istopg 16960 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
7775, 76ax-mp 8 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
7832, 74, 77sylanbrc 646 . 2 TopOn 𝑘Gen
79 istopon 16982 . 2 𝑘Gen TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
8078, 54, 79sylanbrc 646 1 TopOn 𝑘Gen TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007  ciun 4085  cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccmp 17441  𝑘Genckgen 17557 This theorem is referenced by:  kgenuni  17563  kgenftop  17564  kgenhaus  17568  kgenidm  17571  kgencn  17580  kgencn3  17582  kgen2cn  17583 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-kgen 17558
 Copyright terms: Public domain W3C validator