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Theorem kgentopon 17249
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables  y  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3864 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
2 kgenval 17246 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) } )
3 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) }  C_  ~P X
43a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) }  C_  ~P X
)
52, 4eqsstrd 3225 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  ~P X
)
6 sspwuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( (𝑘Gen `  J )  C_  ~P X 
<-> 
U. (𝑘Gen `  J )  C_  X )
75, 6sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. (𝑘Gen `  J )  C_  X
)
81, 7sylan9ssr 3206 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  C_  X
)
9 iunin2 3982 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
10 uniiun 3971 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
1110ineq2i 3380 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
12 incom 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( U. x  i^i  k )
139, 11, 123eqtr2i 2322 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( U. x  i^i  k
)
14 cmptop 17138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
1514ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  k )  e.  Top )
16 incom 3374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  k )  =  ( k  i^i  y
)
17 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )
1817sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
19 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( Jt  k )  e. 
Comp )
20 kgeni 17248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2118, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2216, 21syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2322ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
24 iunopn 16660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2515, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
2613, 25syl5eqelr 2381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2726expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
2827ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
29 elkgen 17247 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )
3231ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
3332alrimiv 1621 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
34 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
35 elssuni 3871 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
3635ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
37 ssid 3210 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  C_  X
3837a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  X
)
39 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  C_  X )
41 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
C_  X  <->  ( X  i^i  k )  =  k )
4240, 41sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  =  k )
4339adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_  X )
44 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
4543, 44sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )
)
46 toponmax 16682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  ->  k  e.  ( Jt  k ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  e.  ( Jt  k ) )
4842, 47eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4948expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  ~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( X  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
5049ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
51 elkgen 17247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
5238, 50, 51mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
53 elssuni 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
5554, 7eqssd 3209 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5655adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5736, 56sseqtr4d 3228 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  X
)
5834, 57syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
59 inindir 3400 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  =  ( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)
6014ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
61 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )
62 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Comp )
63 kgeni 17248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
65 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
6665, 62, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
67 inopn 16661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  /\  (
y  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  ->  ( ( x  i^i  k )  i^i  ( y  i^i  k
) )  e.  ( Jt  k ) )
6860, 64, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)  e.  ( Jt  k ) )
6959, 68syl5eqel 2380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
7069expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  k  e. 
~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
7170ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
72 elkgen 17247 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7372adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7458, 71, 73mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
7574ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
76 fvex 5555 . . . 4  |-  (𝑘Gen `  J
)  e.  _V
77 istopg 16657 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  _V  ->  ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen `  J
)  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . 3  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen
`  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J
) A. y  e.  (𝑘Gen `  J ) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
7933, 75, 78sylanbrc 645 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  Top )
80 istopon 16679 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  <->  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  /\  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
8179, 55, 80sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   U_ciun 3921   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Compccmp 17129  𝑘Genckgen 17244
This theorem is referenced by:  kgenuni  17250  kgenftop  17251  kgenhaus  17255  kgenidm  17258  kgencn  17267  kgencn3  17269  kgen2cn  17270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-kgen 17245
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