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Theorem kgentopon 17233
Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgentopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem kgentopon
Dummy variables  y  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3848 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
2 kgenval 17230 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) } )
3 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) }  C_  ~P X
43a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  { x  e.  ~P X  |  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) }  C_  ~P X
)
52, 4eqsstrd 3212 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  ~P X
)
6 sspwuni 3987 . . . . . . . 8  |-  ( (𝑘Gen `  J )  C_  ~P X 
<-> 
U. (𝑘Gen `  J )  C_  X )
75, 6sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. (𝑘Gen `  J )  C_  X
)
81, 7sylan9ssr 3193 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  C_  X
)
9 iunin2 3966 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
10 uniiun 3955 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
1110ineq2i 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( k  i^i  U_ y  e.  x  y )
12 incom 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  i^i  U. x )  =  ( U. x  i^i  k )
139, 11, 123eqtr2i 2309 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  =  ( U. x  i^i  k
)
14 cmptop 17122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
1514ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  k )  e.  Top )
16 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  k )  =  ( k  i^i  y
)
17 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )
1817sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
19 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( Jt  k )  e. 
Comp )
20 kgeni 17232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2118, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2216, 21syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J
) )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2322ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
24 iunopn 16644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  A. y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y
)  e.  ( Jt  k ) )
2515, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  U_ y  e.  x  ( k  i^i  y )  e.  ( Jt  k ) )
2613, 25syl5eqelr 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  ( k  e. 
~P X  /\  ( Jt  k )  e.  Comp ) )  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2726expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
2827ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
29 elkgen 17231 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( U. x  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( U. x  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  C_  (𝑘Gen `  J ) )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )
3231ex 423 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
3332alrimiv 1617 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (𝑘Gen `  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
34 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
35 elssuni 3855 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
3635ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
37 ssid 3197 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  C_  X
3837a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  X
)
39 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  C_  X )
41 dfss1 3373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k 
C_  X  <->  ( X  i^i  k )  =  k )
4240, 41sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  =  k )
4339adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_  X )
44 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
4543, 44sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )
)
46 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  ->  k  e.  ( Jt  k ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
k  e.  ( Jt  k ) )
4842, 47eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
4948expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  ~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( X  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
5049ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
51 elkgen 17231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( X  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
5238, 50, 51mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  (𝑘Gen
`  J ) )
53 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J
) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. (𝑘Gen `  J ) )
5554, 7eqssd 3196 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5655adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
5736, 56sseqtr4d 3215 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  x  C_  X
)
5834, 57syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
59 inindir 3387 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  =  ( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)
6014ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Top )
61 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  J
) )
62 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( Jt  k )  e. 
Comp )
63 kgeni 17232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  k
)  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( x  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
65 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
y  e.  (𝑘Gen `  J
) )
6665, 62, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( y  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
67 inopn 16645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Jt  k )  e. 
Top  /\  ( x  i^i  k )  e.  ( Jt  k )  /\  (
y  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  ->  ( ( x  i^i  k )  i^i  ( y  i^i  k
) )  e.  ( Jt  k ) )
6860, 64, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  k )  i^i  (
y  i^i  k )
)  e.  ( Jt  k ) )
6959, 68syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  ( k  e.  ~P X  /\  ( Jt  k )  e. 
Comp ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
7069expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  /\  k  e. 
~P X )  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( x  i^i  y )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
7170ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
72 elkgen 17231 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7372adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( (
x  i^i  y )  C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
7458, 71, 73mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
x  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  y  e.  (𝑘Gen
`  J ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
7574ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
76 fvex 5539 . . . 4  |-  (𝑘Gen `  J
)  e.  _V
77 istopg 16641 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  _V  ->  ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top 
<->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen `  J
)  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J ) A. y  e.  (𝑘Gen `  J
) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . . 3  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (𝑘Gen
`  J )  ->  U. x  e.  (𝑘Gen `  J ) )  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  J
) A. y  e.  (𝑘Gen `  J ) ( x  i^i  y )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) )
7933, 75, 78sylanbrc 645 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  Top )
80 istopon 16663 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  <->  ( (𝑘Gen `  J )  e.  Top  /\  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
8179, 55, 80sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  kgenuni  17234  kgenftop  17235  kgenhaus  17239  kgenidm  17242  kgencn  17251  kgencn3  17253  kgen2cn  17254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-kgen 17229
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