MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenuni Unicode version

Theorem kgenuni 17485
Description: The base set of the compact generator is the same as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kgenuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
kgenuni  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )

Proof of Theorem kgenuni
StepHypRef Expression
1 kgenuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16914 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 kgentopon 17484 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
42, 3sylbi 188 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 16908 . 2  |-  ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
64, 5syl 16 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   U.cuni 3950   ` cfv 5387   Topctop 16874  TopOnctopon 16875  𝑘Genckgen 17479
This theorem is referenced by:  kgencmp2  17492  llycmpkgen2  17496  1stckgen  17500  txkgen  17598  qtopkgen  17656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-fin 7042  df-fi 7344  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cmp 17365  df-kgen 17480
  Copyright terms: Public domain W3C validator