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Theorem kmlem1 8035
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, 1 => 2. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    ps, x    x, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    ps( y, z, w)

Proof of Theorem kmlem1
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2961 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
21rabex 4357 . . . . 5  |-  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  e.  _V
3 raleq 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  <->  A. z  e.  {
u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/) ) )
4 raleq 2906 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. w  e.  x  ph  <->  A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
)
54raleqbi1dv 2914 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  <->  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph ) )
63, 5anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  <->  ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
) )
7 raleq 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. z  e.  x  ps  <->  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps )
)
87exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( E. y A. z  e.  x  ps 
<->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) )
96, 8imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  <->  ( ( A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) ) )
102, 9spcv 3044 . . . 4  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  -> 
( ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) )
1110alrimiv 1642 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. v ( ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) )
12 elrabi 3092 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  z  e.  v )
13 elrabi 3092 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  w  e.  v )
1413imim1i 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  v  ->  ph )  ->  ( w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ph ) )
1514ralimi2 2780 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  v  ph  ->  A. w  e.  {
u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
1612, 15imim12i 56 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  v  ->  A. w  e.  v  ph )  ->  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph ) )
1716ralimi2 2780 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  A. z  e.  {
u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
18 neeq1 2611 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
1918elrab 3094 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  <->  ( z  e.  v  /\  z  =/=  (/) ) )
2019simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  z  =/=  (/) )
2120rgen 2773 . . . . . 6  |-  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)
2217, 21jctil 525 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  ( A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
)
2319biimpri 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  v  /\  z  =/=  (/) )  ->  z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } )
2423imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ps )  ->  ( ( z  e.  v  /\  z  =/=  (/) )  ->  ps ) )
2524exp3a 427 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ps )  ->  ( z  e.  v  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
) )
2625ralimi2 2780 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps  ->  A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) )
2726eximi 1586 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps  ->  E. y A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
)
2822, 27imim12i 56 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps )  ->  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
2928alimi 1569 . . 3  |-  ( A. v ( ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps )  ->  A. v ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
) )
3011, 29syl 16 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. v ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
31 raleq 2906 . . . . 5  |-  ( v  =  x  ->  ( A. w  e.  v  ph 
<-> 
A. w  e.  x  ph ) )
3231raleqbi1dv 2914 . . . 4  |-  ( v  =  x  ->  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph 
<-> 
A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph ) )
33 raleq 2906 . . . . 5  |-  ( v  =  x  ->  ( A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) 
<-> 
A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3433exbidv 1637 . . . 4  |-  ( v  =  x  ->  ( E. y A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3532, 34imbi12d 313 . . 3  |-  ( v  =  x  ->  (
( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) )  <->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
) ) )
3635cbvalv 1985 . 2  |-  ( A. v ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) )  <->  A. x
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3730, 36sylib 190 1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711   (/)c0 3630
This theorem is referenced by:  kmlem13  8047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rab 2716  df-v 2960  df-in 3329  df-ss 3336
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