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Theorem kmlem1 7792
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, 1 => 2. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    ps, x    x, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    ps( y, z, w)

Proof of Theorem kmlem1
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
21rabex 4181 . . . . 5  |-  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  e.  _V
3 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  <->  A. z  e.  {
u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/) ) )
4 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. w  e.  x  ph  <->  A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
)
54raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  <->  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph ) )
63, 5anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  <->  ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
) )
7 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( A. z  e.  x  ps  <->  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps )
)
87exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( E. y A. z  e.  x  ps 
<->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) )
96, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ( (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  <->  ( ( A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) ) )
102, 9spcv 2887 . . . 4  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  -> 
( ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) )
1110alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. v ( ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps ) )
12 ssrab2 3271 . . . . . . . . 9  |-  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  C_  v
1312sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  z  e.  v )
1412sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  w  e.  v )
1514imim1i 54 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  v  ->  ph )  ->  ( w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ph ) )
1615ralimi2 2628 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  v  ph  ->  A. w  e.  {
u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
1713, 16imim12i 53 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  v  ->  A. w  e.  v  ph )  ->  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph ) )
1817ralimi2 2628 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  A. z  e.  {
u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
19 neeq1 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =/=  (/)  <->  z  =/=  (/) ) )
2019elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  <->  ( z  e.  v  /\  z  =/=  (/) ) )
2120simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  z  =/=  (/) )
2221rgen 2621 . . . . . 6  |-  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)
2318, 22jctil 523 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  ( A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )
)
2420biimpri 197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  v  /\  z  =/=  (/) )  ->  z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } )
2524imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ps )  ->  ( ( z  e.  v  /\  z  =/=  (/) )  ->  ps ) )
2625exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) }  ->  ps )  ->  ( z  e.  v  ->  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
) )
2726ralimi2 2628 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps  ->  A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) )
2827eximi 1566 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps  ->  E. y A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
)
2923, 28imim12i 53 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps )  ->  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3029alimi 1549 . . 3  |-  ( A. v ( ( A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } z  =/=  (/)  /\  A. z  e. 
{ u  e.  v  |  u  =/=  (/) } A. w  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ph )  ->  E. y A. z  e.  { u  e.  v  |  u  =/=  (/) } ps )  ->  A. v ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
) )
3111, 30syl 15 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. v ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
32 raleq 2749 . . . . 5  |-  ( v  =  x  ->  ( A. w  e.  v  ph 
<-> 
A. w  e.  x  ph ) )
3332raleqbi1dv 2757 . . . 4  |-  ( v  =  x  ->  ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph 
<-> 
A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph ) )
34 raleq 2749 . . . . 5  |-  ( v  =  x  ->  ( A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) 
<-> 
A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3534exbidv 1616 . . . 4  |-  ( v  =  x  ->  ( E. y A. z  e.  v  ( z  =/=  (/)  ->  ps )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3633, 35imbi12d 311 . . 3  |-  ( v  =  x  ->  (
( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) )  <->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps )
) ) )
3736cbvalv 1955 . 2  |-  ( A. v ( A. z  e.  v  A. w  e.  v  ph  ->  E. y A. z  e.  v 
( z  =/=  (/)  ->  ps ) )  <->  A. x
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
3831, 37sylib 188 1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph )  ->  E. y A. z  e.  x  ps )  ->  A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ph  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ps ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  kmlem13  7804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rab 2565  df-v 2803  df-in 3172  df-ss 3179
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