Theorem kmlem10 4774

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,u,t,h   y,A,z,w,h   ph,h

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}
2	1	kmlem9 4773	. 2 |- A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))
3		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
4	3	abrexex 3860	. . . 4 |- {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))} e. V
5	1, 4	eqeltr 1544	. . 3 |- A e. V
6		raleq1 1786	. . . . 5 |- (h = A -> (A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))))
7	6	raleqd 1791	. . . 4 |- (h = A -> (A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))))
8		raleq1 1786	. . . . 5 |- (h = A -> (A.z e. h ph <-> A.z e. A ph))
9	8	exbidv 1279	. . . 4 |- (h = A -> (E.yA.z e. h ph <-> E.yA.z e. A ph))
10	7, 9	imbi12d 626	. . 3 |- (h = A -> ((A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) <-> (A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph)))
11	5, 10	cla4v 1868	. 2 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> (A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph))
12	2, 11	mpi 44	1 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   = wceq 956  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   \ cdif 2044   i^i cin 2046  (/)c0 2280  {csn 2409  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  kmlem13 4777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain