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Theorem kmlem11 7786
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem11  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, u, t    z, A
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem11
StepHypRef Expression
1 kmlem9.1 . . . . . 6  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
21unieqi 3837 . . . . 5  |-  U. A  =  U. { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }
3 vex 2791 . . . . . . 7  |-  t  e. 
_V
4 difexg 4162 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  e. 
_V )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  e.  _V
65dfiun2 3937 . . . . 5  |-  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =  U. {
u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }
72, 6eqtr4i 2306 . . . 4  |-  U. A  =  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )
87ineq2i 3367 . . 3  |-  ( z  i^i  U. A )  =  ( z  i^i  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
9 iunin2 3966 . . 3  |-  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  U_ t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
108, 9eqtr4i 2306 . 2  |-  ( z  i^i  U. A )  =  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
11 undif2 3530 . . . . . 6  |-  ( { z }  u.  (
x  \  { z } ) )  =  ( { z }  u.  x )
12 snssi 3759 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  { z }  C_  x )
13 ssequn1 3345 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  x  <->  ( { z }  u.  x )  =  x )
1412, 13sylib 188 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  ( { z }  u.  x )  =  x )
1511, 14syl5req 2328 . . . . 5  |-  ( z  e.  x  ->  x  =  ( { z }  u.  ( x 
\  { z } ) ) )
1615iuneq1d 3928 . . . 4  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
17 iunxun 3983 . . . . . 6  |-  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( U_ t  e.  { z }  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  { z } ) ( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
18 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
19 difeq1 3287 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
20 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  { t }  =  { z } )
2120difeq2d 3294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { z } ) )
2221unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { z } ) )
2322difeq2d 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
z  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
2419, 23eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
2524ineq2d 3370 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) ) )
2618, 25iunxsn 3981 . . . . . . 7  |-  U_ t  e.  { z }  (
z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )
2726uneq1i 3325 . . . . . 6  |-  ( U_ t  e.  { z }  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
2817, 27eqtri 2303 . . . . 5  |-  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
29 eldifsni 3750 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( x  \  { z } )  ->  t  =/=  z
)
30 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) )  =  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  z )
31 kmlem4 7779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  x  /\  t  =/=  z )  -> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  z )  =  (/) )
3230, 31syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  x  /\  t  =/=  z )  -> 
( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
3332ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
t  =/=  z  -> 
( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/) ) )
3429, 33syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
t  e.  ( x 
\  { z } )  ->  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) ) )
3534ralrimiv 2625 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  A. t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
36 iuneq2 3921 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  ( x  \  { z } ) ( z  i^i  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) )  =  (/)  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( x  \  { z } )
(/) )
3735, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  U_ t  e.  ( x  \  { z } )
(/) )
38 iun0 3958 . . . . . . 7  |-  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) (/)  =  (/)
3937, 38syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  (/) )
4039uneq2d 3329 . . . . 5  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  i^i  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) ) )  u.  U_ t  e.  ( x  \  {
z } ) ( z  i^i  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) ) )
4128, 40syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  ( { z }  u.  ( x  \  { z } ) ) ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  (/) ) )
4216, 41eqtrd 2315 . . 3  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  u.  (/) ) )
43 un0 3479 . . . 4  |-  ( ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) )  =  ( z  i^i  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) ) )
44 indif 3411 . . . 4  |-  ( z  i^i  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )  =  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )
4543, 44eqtri 2303 . . 3  |-  ( ( z  i^i  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) ) )  u.  (/) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )
4642, 45syl6eq 2331 . 2  |-  ( z  e.  x  ->  U_ t  e.  x  ( z  i^i  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
4710, 46syl5eq 2327 1  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905
This theorem is referenced by:  kmlem12  7787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-uni 3828  df-iun 3907
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