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Theorem kmlem12 7803
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 27-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem12  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, u, t   
y, A, z, v
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem12
StepHypRef Expression
1 kmlem9.1 . . . . 5  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
21raleqi 2753 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  {
u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
3 df-ral 2561 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  A. z ( z  e. 
{ u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
5 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
65rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
74, 6elab 2927 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
87imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
9 r19.23v 2672 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
108, 9bitr4i 243 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) }  ->  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  A. t  e.  x  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1110albii 1556 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
{ u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. z A. t  e.  x  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
12 ralcom4 2819 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  A. z ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  A. z A. t  e.  x  ( z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
13 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
14 difexg 4178 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  e. 
_V )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  e.  _V
16 neeq1 2467 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  =/=  (/) 
<->  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/) ) )
17 ineq1 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( z  i^i  y )  =  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) )
1817eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
1918eubidv 2164 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
2016, 19imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  ->  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) ) )
2115, 20ceqsalv 2827 . . . . . 6  |-  ( A. z ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
2221ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  A. z ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  A. t  e.  x  ( (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
2311, 12, 223bitr2i 264 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e. 
{ u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. t  e.  x  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
242, 3, 233bitri 262 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. t  e.  x  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y ) ) )
25 ralim 2627 . . 3  |-  ( A. t  e.  x  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y ) )  ->  ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) ) )
2624, 25sylbi 187 . 2  |-  ( A. z  e.  A  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  ->  ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) ) )
27 difeq1 3300 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
28 sneq 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  z  ->  { t }  =  { z } )
2928difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  z  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { z } ) )
3029unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  z  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { z } ) )
3130difeq2d 3307 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
z  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
3227, 31eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) ) )
3332neeq1d 2472 . . . . . 6  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/) 
<->  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/) ) )
3433cbvralv 2777 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/) )
3532ineq1d 3382 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  z  ->  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y )  =  ( ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  y ) )
3635eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( t  =  z  ->  (
v  e.  ( ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  i^i  y )  <->  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y ) ) )
3736eubidv 2164 . . . . . 6  |-  ( t  =  z  ->  ( E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) ) )
3837cbvralv 2777 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  x  E! v  v  e.  (
( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) )
3934, 38imbi12i 316 . . . 4  |-  ( ( A. t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) )  <-> 
( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) ) )
40 in12 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) )  =  ( y  i^i  (
z  i^i  U. A ) )
41 incom 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  ( z  i^i  U. A ) )  =  ( ( z  i^i  U. A )  i^i  y
)
4240, 41eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) )  =  ( ( z  i^i  U. A )  i^i  y
)
431kmlem11 7802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  (
z  i^i  U. A )  =  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) ) )
4443ineq1d 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  i^i  U. A )  i^i  y
)  =  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y ) )
4542, 44syl5req 2341 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  x  ->  (
( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) )
4645eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  x  ->  (
v  e.  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  (
y  i^i  U. A ) ) ) )
4746eubidv 2164 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! v  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y )  <->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) )
48 ax-1 5 . . . . . . 7  |-  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) )
4947, 48syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( z  e.  x  ->  ( E! v  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y )  -> 
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5049ralimia 2629 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  y )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) )
5150imim2i 13 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  y ) )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5239, 51sylbi 187 . . 3  |-  ( ( A. t  e.  x  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5352com12 27 . 2  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( ( A. t  e.  x  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  x  E! v  v  e.  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  y ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
5426, 53syl5 28 1  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( y  i^i  U. A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  kmlem13  7804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-sn 3659  df-uni 3844  df-iun 3923
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