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Theorem kmlem13 8044
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem13  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, t    y, A, z, w, v
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem13
Dummy variables  h  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kmlem1 8032 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2 raleq 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
32raleqbi1dv 2914 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
4 raleq 2906 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
54exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
63, 5imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  h  ->  (
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
76cbvalv 1985 . . . 4  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
8 kmlem9.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
98kmlem10 8041 . . . . . 6  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
10 ineq2 3538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  g  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  g ) )
1110eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  g  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1211eubidv 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  g  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1312imbi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  g  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) ) ) )
1413ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  g  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) ) )
1514cbvexv 1986 . . . . . . 7  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) )
16 kmlem3 8034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
17 ralinexa 2752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
1817rexbii 2732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  E. v  e.  z  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
19 rexnal 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  -. 
E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2016, 18, 193bitri 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2120ralbii 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
22 ralnex 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2321, 22bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
248kmlem12 8043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
25 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
2625inex1 4346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  i^i  U. A )  e.  _V
27 ineq2 3538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )
2827eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
2928eubidv 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
3029imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3130ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3226, 31spcev 3045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
3324, 32syl6 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3433exlimdv 1647 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3534com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  =/=  (/)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3623, 35syl5bir 211 . . . . . . 7  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3715, 36sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
389, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3938alrimiv 1642 . . . 4  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
407, 39sylbi 189 . . 3  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
411, 40syl 16 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
42 kmlem7 8038 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
4342imim1i 57 . . . 4  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
44 biimt 327 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4544ralimi 2783 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
46 ralbi 2844 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4847exbidv 1637 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4948adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
5049pm5.74i 238 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
5143, 50sylibr 205 . . 3  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
5251alimi 1569 . 2  |-  ( A. x ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
5341, 52impbii 182 1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    i^i cin 3321   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017
This theorem is referenced by:  dfackm  8048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464
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