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Theorem kmlem13 7804
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem13  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u, t    y, A, z, w, v
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem13
Dummy variables  h  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kmlem1 7792 . . 3  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
32raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) )  <->  A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
4 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  h  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
54exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( x  =  h  ->  ( E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
63, 5imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  h  ->  (
( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
76cbvalv 1955 . . . 4  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <->  A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
8 kmlem9.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
98kmlem10 7801 . . . . . 6  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
10 ineq2 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  g  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  g ) )
1110eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  g  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1211eubidv 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  g  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g
) ) )
1312imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  g  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) ) ) )
1413ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  g  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) ) )
1514cbvexv 1956 . . . . . . 7  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
) )
16 kmlem3 7794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
17 ralinexa 2601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
1817rexbii 2581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  E. v  e.  z  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
19 rexnal 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  z  -. 
E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2016, 18, 193bitri 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2120ralbii 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
22 ralnex 2566 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2321, 22bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
248kmlem12 7803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
25 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
2625inex1 4171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  i^i  U. A )  e.  _V
27 ineq2 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )
2827eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
2928eubidv 2164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! v  v  e.  ( z  i^i  (
g  i^i  U. A ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3130ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( g  i^i  U. A )  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) ) ) )
3226, 31spcev 2888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  ( g  i^i  U. A ) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )
3324, 32syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  g ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3433exlimdv 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/)  ->  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  g )
)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3534com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( A. z  e.  x  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  =/=  (/)  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3623, 35syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( E. g A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  g ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
3715, 36sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( E. y A. z  e.  A  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )  -> 
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
389, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
3938alrimiv 1621 . . . 4  |-  ( A. h ( A. z  e.  h  A. w  e.  h  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  h  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
407, 39sylbi 187 . . 3  |-  ( A. x ( A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
411, 40syl 15 . 2  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  ->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
42 kmlem7 7798 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
4342imim1i 54 . . . 4  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
44 biimt 325 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4544ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
46 ralbi 2692 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  x  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
4847exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  ( E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
5049pm5.74i 236 . . . 4  |-  ( ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) )  <-> 
( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/) 
/\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
5143, 50sylibr 203 . . 3  |-  ( ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) )  ->  (
( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v 
v  e.  ( z  i^i  y ) ) )
5251alimi 1549 . 2  |-  ( A. x ( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) ) )
5341, 52impbii 180 1  |-  ( A. x ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. x
( -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  dfackm  7808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279
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