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Theorem kmlem14 7789
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
kmlem14.1  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
kmlem14.2  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
kmlem14.3  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
Assertion
Ref Expression
kmlem14  |-  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v)    ps( x, y, z, w, v, u)    ch( x, y, z, w, v, u)

Proof of Theorem kmlem14
StepHypRef Expression
1 neeq1 2454 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =/=  w  <->  y  =/=  w ) )
2 ineq1 3363 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  i^i  w )  =  ( y  i^i  w ) )
32eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
v  e.  ( z  i^i  w )  <->  v  e.  ( y  i^i  w
) ) )
41, 3anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  ( y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w
) ) ) )
54rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  v  e.  (
y  i^i  w )
) ) )
65raleqbi1dv 2744 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  ( A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  A. v  e.  y  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  v  e.  (
y  i^i  w )
) ) )
76cbvrexv 2765 . 2  |-  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. y  e.  x  A. v  e.  y  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w
) ) )
8 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. y  e.  x  A. v  e.  y  E. w  e.  x  (
y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w ) )  <->  E. y
( y  e.  x  /\  A. v  e.  y  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  v  e.  (
y  i^i  w )
) ) )
9 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  z  ->  (
v  e.  ( y  i^i  w )  <->  z  e.  ( y  i^i  w
) ) )
109anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  z  ->  (
( y  =/=  w  /\  v  e.  (
y  i^i  w )
)  <->  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w
) ) ) )
1110rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( v  =  z  ->  ( E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  v  e.  (
y  i^i  w )
)  <->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) ) )
1211cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  y  E. w  e.  x  (
y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w ) )  <->  A. z  e.  y  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w
) ) )
13 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  E. w  e.  x  (
y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w ) )  <->  A. z
( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) ) )
1412, 13bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. v  e.  y  E. w  e.  x  (
y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w ) )  <->  A. z
( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) ) )
1514anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. v  e.  y  E. w  e.  x  (
y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w ) ) )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w
) ) ) ) )
16 19.28v 1836 . . . 4  |-  ( A. z ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w
) ) ) )  <-> 
( y  e.  x  /\  A. z ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w
) ) ) ) )
17 neeq2 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  v  ->  (
y  =/=  w  <->  y  =/=  v ) )
18 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  v  ->  (
y  i^i  w )  =  ( y  i^i  v ) )
1918eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  v  ->  (
z  e.  ( y  i^i  w )  <->  z  e.  ( y  i^i  v
) ) )
2017, 19anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  v  ->  (
( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
)  <->  ( y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v
) ) ) )
2120cbvrexv 2765 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w ) )  <->  E. v  e.  x  ( y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v
) ) )
22 df-rex 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v  e.  x  ( y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v ) )  <->  E. v
( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) )
2321, 22bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w ) )  <->  E. v
( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) )
2423imbi2i 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) )  <->  ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) )
25 19.37v 1840 . . . . . . . 8  |-  ( E. v ( z  e.  y  ->  ( v  e.  x  /\  (
y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v ) ) ) )  <->  ( z  e.  y  ->  E. v
( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) )
2624, 25bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) )  <->  E. v
( z  e.  y  ->  ( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v
) ) ) ) )
2726anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) ) )  <->  ( y  e.  x  /\  E. v
( z  e.  y  ->  ( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v
) ) ) ) ) )
28 19.42v 1846 . . . . . 6  |-  ( E. v ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  (
v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) )  <-> 
( y  e.  x  /\  E. v ( z  e.  y  ->  (
v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) ) )
29 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ u
( y  e.  x  /\  ph )
302919.3 1781 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  <->  ( y  e.  x  /\  ph ) )
31 kmlem14.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
32 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( y  i^i  v )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  v ) )
3332baibr 872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  ( y  i^i  v
) ) )
3433anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  y  ->  (
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v )  <->  ( (
v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  ( y  i^i  v ) ) ) )
35 anass 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v
)  /\  z  e.  ( y  i^i  v
) )  <->  ( v  e.  x  /\  (
y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v ) ) ) )
3634, 35syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  y  ->  (
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v )  <->  ( v  e.  x  /\  (
y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v ) ) ) ) )
3736pm5.74i 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( v  e.  x  /\  (
y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v ) ) ) ) )
3831, 37bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) )
3938anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  /\  ph )  <->  ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  (
v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) ) )
4030, 39bitr2i 241 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  ( v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  ( y  i^i  v
) ) ) ) )  <->  A. u ( y  e.  x  /\  ph ) )
4140exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. v ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  (
v  e.  x  /\  ( y  =/=  v  /\  z  e.  (
y  i^i  v )
) ) ) )  <->  E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph ) )
4227, 28, 413bitr2i 264 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  (
y  i^i  w )
) ) )  <->  E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
4342albii 1553 . . . 4  |-  ( A. z ( y  e.  x  /\  ( z  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  z  e.  ( y  i^i  w
) ) ) )  <->  A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
4415, 16, 433bitr2i 264 . . 3  |-  ( ( y  e.  x  /\  A. v  e.  y  E. w  e.  x  (
y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w ) ) )  <->  A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
4544exbii 1569 . 2  |-  ( E. y ( y  e.  x  /\  A. v  e.  y  E. w  e.  x  ( y  =/=  w  /\  v  e.  ( y  i^i  w
) ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
467, 8, 453bitri 262 1  |-  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151
This theorem is referenced by:  kmlem16  7791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-in 3159
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