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Theorem kmlem15 7790
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
kmlem14.1  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
kmlem14.2  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
kmlem14.3  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
Assertion
Ref Expression
kmlem15  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, u    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v)    ps( x, y, z, v, u)    ch( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem kmlem15
StepHypRef Expression
1 kmlem14.3 . . . 4  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
2 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ u  v  e.  ( z  i^i  y )
32eu1 2164 . . . . . 6  |-  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. v ( v  e.  ( z  i^i  y
)  /\  A. u
( [ u  / 
v ] v  e.  ( z  i^i  y
)  ->  v  =  u ) ) )
4 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( z  i^i  y )  <->  ( v  e.  z  /\  v  e.  y ) )
5 clelsb3 2385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ u  /  v ] v  e.  ( z  i^i  y )  <->  u  e.  ( z  i^i  y
) )
6 elin 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( z  i^i  y )  <->  ( u  e.  z  /\  u  e.  y ) )
75, 6bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ u  /  v ] v  e.  ( z  i^i  y )  <->  ( u  e.  z  /\  u  e.  y ) )
8 eqcom 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  u  <->  u  =  v )
97, 8imbi12i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ u  /  v ] v  e.  ( z  i^i  y )  ->  v  =  u )  <->  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) )
109albii 1553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u ( [ u  /  v ] v  e.  ( z  i^i  y )  ->  v  =  u )  <->  A. u
( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) )
114, 10anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ( z  i^i  y )  /\  A. u ( [ u  /  v ] v  e.  ( z  i^i  y )  ->  v  =  u ) )  <->  ( (
v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  A. u ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )
12 19.28v 1836 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) )  <->  ( (
v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  A. u ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )
1311, 12bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ( z  i^i  y )  /\  A. u ( [ u  /  v ] v  e.  ( z  i^i  y )  ->  v  =  u ) )  <->  A. u
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )
1413exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. v ( v  e.  ( z  i^i  y
)  /\  A. u
( [ u  / 
v ] v  e.  ( z  i^i  y
)  ->  v  =  u ) )  <->  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )
153, 14bitri 240 . . . . 5  |-  ( E! v  v  e.  ( z  i^i  y )  <->  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )
1615ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  E! v  v  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  x  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )
17 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  x  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) )  <->  A. z ( z  e.  x  ->  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
18 kmlem14.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
1918albii 1553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u ps  <->  A. u ( z  e.  x  ->  (
( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
20 19.21v 1831 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u ( z  e.  x  ->  ( (
v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )  <->  ( z  e.  x  ->  A. u
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
2119, 20bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ps  <->  ( z  e.  x  ->  A. u
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
2221exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. v A. u ps  <->  E. v ( z  e.  x  ->  A. u
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
23 19.37v 1840 . . . . . . 7  |-  ( E. v ( z  e.  x  ->  A. u
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) )  <-> 
( z  e.  x  ->  E. v A. u
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
2422, 23bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. v A. u ps  <->  ( z  e.  x  ->  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
2524albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. z E. v A. u ps 
<-> 
A. z ( z  e.  x  ->  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
2617, 25bitr4i 243 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  E. v A. u ( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  ( ( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) )  <->  A. z E. v A. u ps )
271, 16, 263bitri 262 . . 3  |-  ( ch  <->  A. z E. v A. u ps )
2827anbi2i 675 . 2  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  ( -.  y  e.  x  /\  A. z E. v A. u ps ) )
29 19.28v 1836 . 2  |-  ( A. z ( -.  y  e.  x  /\  E. v A. u ps )  <->  ( -.  y  e.  x  /\  A. z E. v A. u ps ) )
30 19.28v 1836 . . . . 5  |-  ( A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  <->  ( -.  y  e.  x  /\  A. u ps )
)
3130exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  <->  E. v
( -.  y  e.  x  /\  A. u ps ) )
32 19.42v 1846 . . . 4  |-  ( E. v ( -.  y  e.  x  /\  A. u ps )  <->  ( -.  y  e.  x  /\  E. v A. u ps ) )
3331, 32bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  E. v A. u ps )  <->  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)
3433albii 1553 . 2  |-  ( A. z ( -.  y  e.  x  /\  E. v A. u ps )  <->  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
3528, 29, 343bitr2i 264 1  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   A.wral 2543    i^i cin 3151
This theorem is referenced by:  kmlem16  7791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-in 3159
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