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Theorem kmlem16 8050
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
kmlem14.1  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
kmlem14.2  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
kmlem14.3  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
Assertion
Ref Expression
kmlem16  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  ch )
)  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v)    ps( x, y, z, w, v, u)    ch( x, y, z, w, v, u)

Proof of Theorem kmlem16
StepHypRef Expression
1 kmlem14.1 . . . 4  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
2 kmlem14.2 . . . 4  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
3 kmlem14.3 . . . 4  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
41, 2, 3kmlem14 8048 . . 3  |-  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
51, 2, 3kmlem15 8049 . . . 4  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
65exbii 1593 . . 3  |-  ( E. y ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  E. y A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
74, 6orbi12i 509 . 2  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  ch )
)  <->  ( E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. y A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
8 19.43 1616 . 2  |-  ( E. y ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. y A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
9 pm3.24 854 . . . . . 6  |-  -.  (
y  e.  x  /\  -.  y  e.  x
)
10 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
1110sps 1771 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
1211exlimivv 1646 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
13 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x )
1413sps 1771 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x
)
1514exlimivv 1646 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x
)
1612, 15anim12i 551 . . . . . 6  |-  ( ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  ->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  x ) )
179, 16mto 170 . . . . 5  |-  -.  ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)
18 19.33b 1619 . . . . 5  |-  ( -.  ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  -> 
( A. z ( E. v A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( A. z E. v A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
) ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. z ( E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
2010exlimiv 1645 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
2113exlimiv 1645 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x
)
2220, 21anim12i 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  -> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  x
) )
239, 22mto 170 . . . . . . . 8  |-  -.  ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
24 19.33b 1619 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  ->  ( A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
2625exbii 1593 . . . . . 6  |-  ( E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  E. v
( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
) )
27 19.43 1616 . . . . . 6  |-  ( E. v ( A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  ( E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
) )
2826, 27bitr2i 243 . . . . 5  |-  ( ( E. v A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
2928albii 1576 . . . 4  |-  ( A. z ( E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
3019, 29bitr3i 244 . . 3  |-  ( ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
3130exbii 1593 . 2  |-  ( E. y ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
327, 8, 313bitr2i 266 1  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  ch )
)  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1726   E!weu 2283    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321
This theorem is referenced by:  dfackm  8051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-in 3329
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