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Theorem kmlem16 8009
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
kmlem14.1  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
kmlem14.2  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
kmlem14.3  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
Assertion
Ref Expression
kmlem16  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  ch )
)  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, v, u    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v)    ps( x, y, z, w, v, u)    ch( x, y, z, w, v, u)

Proof of Theorem kmlem16
StepHypRef Expression
1 kmlem14.1 . . . 4  |-  ( ph  <->  ( z  e.  y  -> 
( ( v  e.  x  /\  y  =/=  v )  /\  z  e.  v ) ) )
2 kmlem14.2 . . . 4  |-  ( ps  <->  ( z  e.  x  -> 
( ( v  e.  z  /\  v  e.  y )  /\  (
( u  e.  z  /\  u  e.  y )  ->  u  =  v ) ) ) )
3 kmlem14.3 . . . 4  |-  ( ch  <->  A. z  e.  x  E! v  v  e.  ( z  i^i  y ) )
41, 2, 3kmlem14 8007 . . 3  |-  ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )
)
51, 2, 3kmlem15 8008 . . . 4  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
65exbii 1589 . . 3  |-  ( E. y ( -.  y  e.  x  /\  ch )  <->  E. y A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
74, 6orbi12i 508 . 2  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  ch )
)  <->  ( E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. y A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
8 19.43 1612 . 2  |-  ( E. y ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( E. y A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. y A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
9 pm3.24 853 . . . . . 6  |-  -.  (
y  e.  x  /\  -.  y  e.  x
)
10 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
1110sps 1766 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
1211exlimivv 1642 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
13 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x )
1413sps 1766 . . . . . . . 8  |-  ( A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x
)
1514exlimivv 1642 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x
)
1612, 15anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  ->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  x ) )
179, 16mto 169 . . . . 5  |-  -.  ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)
18 19.33b 1615 . . . . 5  |-  ( -.  ( E. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  -> 
( A. z ( E. v A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( A. z E. v A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
) ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. z ( E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
2010exlimiv 1641 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  ->  y  e.  x )
2113exlimiv 1641 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )  ->  -.  y  e.  x
)
2220, 21anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  -> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  x
) )
239, 22mto 169 . . . . . . . 8  |-  -.  ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )
24 19.33b 1615 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( E. u ( y  e.  x  /\  ph )  /\  E. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  ->  ( A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  ( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
2625exbii 1589 . . . . . 6  |-  ( E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  E. v
( A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
) )
27 19.43 1612 . . . . . 6  |-  ( E. v ( A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  ( E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
) )
2826, 27bitr2i 242 . . . . 5  |-  ( ( E. v A. u
( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
2928albii 1572 . . . 4  |-  ( A. z ( E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  E. v A. u
( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
3019, 29bitr3i 243 . . 3  |-  ( ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps )
)  <->  A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
3130exbii 1589 . 2  |-  ( E. y ( A. z E. v A. u ( y  e.  x  /\  ph )  \/  A. z E. v A. u ( -.  y  e.  x  /\  ps ) )  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
327, 8, 313bitr2i 265 1  |-  ( ( E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  \/  E. y
( -.  y  e.  x  /\  ch )
)  <->  E. y A. z E. v A. u ( ( y  e.  x  /\  ph )  \/  ( -.  y  e.  x  /\  ps ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    e. wcel 1721   E!weu 2262    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287
This theorem is referenced by:  dfackm  8010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-v 2926  df-in 3295
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