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Theorem kmlem2 7793
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem2  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w)

Proof of Theorem kmlem2
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  v ) )
21eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  (
w  e.  ( z  i^i  y )  <->  w  e.  ( z  i^i  v
) ) )
32eubidv 2164 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) )
43imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  (
( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) ) )
54ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) ) )
65cbvexv 1956 . . 3  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. v A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v
) ) )
7 vex 2804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
87uniex 4532 . . . . . 6  |-  U. x  e.  _V
9 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. x  -> 
( u  e.  y  <-> 
u  e.  U. x
) )
109notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. x  -> 
( -.  u  e.  y  <->  -.  u  e.  U. x ) )
1110exbidv 1616 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. x  -> 
( E. u  -.  u  e.  y  <->  E. u  -.  u  e.  U. x
) )
12 nalset 4167 . . . . . . . 8  |-  -.  E. y A. u  u  e.  y
13 alexn 1569 . . . . . . . 8  |-  ( A. y E. u  -.  u  e.  y  <->  -.  E. y A. u  u  e.  y )
1412, 13mpbir 200 . . . . . . 7  |-  A. y E. u  -.  u  e.  y
1514spi 1750 . . . . . 6  |-  E. u  -.  u  e.  y
168, 11, 15vtocl 2851 . . . . 5  |-  E. u  -.  u  e.  U. x
17 indi 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  ( v  u. 
{ u } ) )  =  ( ( z  i^i  v )  u.  ( z  i^i 
{ u } ) )
18 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  z  C_ 
U. x )
1918sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  x  ->  (
u  e.  z  ->  u  e.  U. x
) )
2019con3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  x  ->  ( -.  u  e.  U. x  ->  -.  u  e.  z ) )
21 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  { u } )  =  (/)  <->  -.  u  e.  z )
2220, 21syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  x  ->  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( z  i^i  {
u } )  =  (/) ) )
2322impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( z  i^i  { u } )  =  (/) )
2423uneq2d 3342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( (
z  i^i  v )  u.  ( z  i^i  {
u } ) )  =  ( ( z  i^i  v )  u.  (/) ) )
25 un0 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  v )  u.  (/) )  =  ( z  i^i  v )
2624, 25syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( (
z  i^i  v )  u.  ( z  i^i  {
u } ) )  =  ( z  i^i  v ) )
2717, 26syl5req 2341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( z  i^i  v )  =  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) )
2827eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( w  e.  ( z  i^i  v
)  <->  w  e.  (
z  i^i  ( v  u.  { u } ) ) ) )
2928eubidv 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  v )  <->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  u  e.  U. x  /\  z  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  <->  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) )
3130ralbidva 2572 . . . . . . . 8  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  <->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) ) )
32 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  u  e. 
_V
3332snid 3680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  u  e. 
{ u }
3433olci 380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  v  \/  u  e.  { u } )
35 elun 3329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( v  u. 
{ u } )  <-> 
( u  e.  v  \/  u  e.  {
u } ) )
3634, 35mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  u  e.  ( v  u.  {
u } )
37 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  u.  { u } )  e.  x  ->  ( v  u.  {
u } )  C_  U. x )
3837sseld 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  u.  { u } )  e.  x  ->  ( u  e.  ( v  u.  { u } )  ->  u  e.  U. x ) )
3936, 38mpi 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  u.  { u } )  e.  x  ->  u  e.  U. x
)
4039con3i 127 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  -.  ( v  u. 
{ u } )  e.  x )
4140biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) )  <->  ( -.  ( v  u.  {
u } )  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) ) )
4231, 41bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  <->  ( -.  (
v  u.  { u } )  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) ) ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
44 snex 4232 . . . . . . . . 9  |-  { u }  e.  _V
4543, 44unex 4534 . . . . . . . 8  |-  ( v  u.  { u }
)  e.  _V
46 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( y  e.  x  <->  ( v  u. 
{ u } )  e.  x ) )
4746notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( -.  y  e.  x  <->  -.  ( v  u.  { u } )  e.  x ) )
48 ineq2 3377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( z  i^i  y )  =  ( z  i^i  ( v  u.  { u }
) ) )
4948eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  w  e.  (
z  i^i  ( v  u.  { u } ) ) ) )
5049eubidv 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y )  <->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) )
5150imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) )
5251ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  (
v  u.  { u } ) ) ) ) )
5347, 52anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( v  u. 
{ u } )  ->  ( ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <-> 
( -.  ( v  u.  { u }
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) ) ) )
5445, 53spcev 2888 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( v  u. 
{ u } )  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  ( v  u.  {
u } ) ) ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
5542, 54syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( -.  u  e.  U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) ) )
5655exlimiv 1624 . . . . 5  |-  ( E. u  -.  u  e. 
U. x  ->  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) ) )
5716, 56ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
5857exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. v A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  v ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
596, 58sylbi 187 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  ->  E. y
( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) ) )
60 simpr 447 . . 3  |-  ( ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )
6160eximi 1566 . 2  |-  ( E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) ) )  ->  E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )
6259, 61impbii 180 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  ( ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y ( -.  y  e.  x  /\  A. z  e.  x  (
ph  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   A.wral 2556    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843
This theorem is referenced by:  kmlem8  7799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844
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