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Theorem kmlem3 7778
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. The right-hand side is part of the hypothesis of 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem3  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
Distinct variable group:    x, v, w, z

Proof of Theorem kmlem3
StepHypRef Expression
1 dfdif2 3161 . . . 4  |-  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )  =  { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. (
x  \  { z } ) }
2 dfnul3 3458 . . . . . 6  |-  (/)  =  {
v  e.  z  |  -.  v  e.  z }
32uneq2i 3326 . . . . 5  |-  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  (/) )  =  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  { v  e.  z  |  -.  v  e.  z } )
4 un0 3479 . . . . 5  |-  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  (/) )  =  { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. (
x  \  { z } ) }
5 unrab 3439 . . . . 5  |-  ( { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. ( x  \  { z } ) }  u.  { v  e.  z  |  -.  v  e.  z } )  =  {
v  e.  z  |  ( -.  v  e. 
U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z ) }
63, 4, 53eqtr3i 2311 . . . 4  |-  { v  e.  z  |  -.  v  e.  U. (
x  \  { z } ) }  =  { v  e.  z  |  ( -.  v  e.  U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z ) }
7 ianor 474 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( v  e.  U. ( x  \  { z } )  /\  v  e.  z )  <->  ( -.  v  e.  U. (
x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z )
)
8 eluni 3830 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  U. ( x 
\  { z } )  <->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
98anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  U. (
x  \  { z } )  /\  v  e.  z )  <->  ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) )  /\  v  e.  z ) )
10 df-rex 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  x  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  E. w ( w  e.  x  /\  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) ) )
11 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( v  e.  z  /\  v  e.  w ) )
1211anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w ) ) )
13 df-an 360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
1412, 13bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) )  <->  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
1514anbi2i 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  x  /\  ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) )  <->  ( w  e.  x  /\  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) ) )
16 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( w  e.  x  /\  w  =/=  z
) )
17 necom 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =/=  z  <->  z  =/=  w )
1817anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  x  /\  w  =/=  z )  <->  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) )
1916, 18bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( w  e.  x  /\  z  =/=  w
) )
2019anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  v  e.  z )  /\  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
) ) )
21 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z )  <->  ( v  e.  z  /\  v  e.  w )
)
2221anbi2ci 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) )  <->  ( (
w  e.  x  /\  z  =/=  w )  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) )
23 anass 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
)  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w ) )  <->  ( w  e.  x  /\  (
z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) ) )
2420, 22, 233bitri 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( w  e.  x  /\  (
z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) ) )
25 an32 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  w  /\  v  e.  z
)  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z ) )
2624, 25bitr3i 242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  x  /\  ( z  =/=  w  /\  ( v  e.  z  /\  v  e.  w
) ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z ) )
2715, 26bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  x  /\  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )  <->  ( (
v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z ) )
2827exbii 1569 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( w  e.  x  /\  -.  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )  <->  E. w
( ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) )  /\  v  e.  z ) )
29 19.41v 1842 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( ( v  e.  w  /\  w  e.  ( x  \  {
z } ) )  /\  v  e.  z )  <->  ( E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z )
)
3010, 28, 293bitri 262 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  x  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  ( E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  (
x  \  { z } ) )  /\  v  e.  z )
)
31 rexnal 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  x  -.  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
329, 30, 313bitr2ri 265 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  ( v  e. 
U. ( x  \  { z } )  /\  v  e.  z ) )
3332con1bii 321 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( v  e.  U. ( x  \  { z } )  /\  v  e.  z )  <->  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
347, 33bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( -.  v  e.  U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z )  <->  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
3534a1i 10 . . . . 5  |-  ( v  e.  z  ->  (
( -.  v  e. 
U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z )  <->  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) ) )
3635rabbiia 2778 . . . 4  |-  { v  e.  z  |  ( -.  v  e.  U. ( x  \  { z } )  \/  -.  v  e.  z ) }  =  { v  e.  z  |  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) }
371, 6, 363eqtri 2307 . . 3  |-  ( z 
\  U. ( x  \  { z } ) )  =  { v  e.  z  |  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
) }
3837neeq1i 2456 . 2  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  { v  e.  z  |  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) }  =/=  (/) )
39 rabn0 3474 . 2  |-  ( { v  e.  z  | 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
4038, 39bitri 240 1  |-  ( ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  =/=  (/) 
<->  E. v  e.  z 
A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827
This theorem is referenced by:  kmlem13  7788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-nul 3456  df-sn 3646  df-uni 3828
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