Theorem kmlem4 4740

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ((w e. x /\ z =/= w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/))

Distinct variable group:   x,w,z

Proof of Theorem kmlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . 6 |- w e. V
2		eleq1 1526	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (v e. x <-> w e. x))
3		neeq2 1583	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (z =/= v <-> z =/= w))
4	2, 3	anbi12d 626	. . . . . . 7 |- (v = w -> ((v e. x /\ z =/= v) <-> (w e. x /\ z =/= w)))
5		eleq2 1527	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (y e. v <-> y e. w))
6	5	negbid 609	. . . . . . 7 |- (v = w -> (-. y e. v <-> -. y e. w))
7	4, 6	imbi12d 624	. . . . . 6 |- (v = w -> (((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v) <-> ((w e. x /\ z =/= w) -> -. y e. w)))
8	1, 7	cla4v 1859	. . . . 5 |- (A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v) -> ((w e. x /\ z =/= w) -> -. y e. w))
9	8	com12 11	. . . 4 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> (A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v) -> -. y e. w))
10		eldif 2047	. . . . 5 |- (y e. (z \ U.(x \ {z})) <-> (y e. z /\ -. y e. U.(x \ {z})))
11		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((y e. z /\ -. y e. U.(x \ {z})) -> -. y e. U.(x \ {z}))
12		eluni 2496	. . . . . . . 8 |- (y e. U.(x \ {z}) <-> E.v(y e. v /\ v e. (x \ {z})))
13	12	negbii 187	. . . . . . 7 |- (-. y e. U.(x \ {z}) <-> -. E.v(y e. v /\ v e. (x \ {z})))
14		alnex 1029	. . . . . . 7 |- (A.v -. (y e. v /\ v e. (x \ {z})) <-> -. E.v(y e. v /\ v e. (x \ {z})))
15		bi2.03 165	. . . . . . . . 9 |- ((y e. v -> -. v e. (x \ {z})) <-> (v e. (x \ {z}) -> -. y e. v))
16		imnan 242	. . . . . . . . 9 |- ((y e. v -> -. v e. (x \ {z})) <-> -. (y e. v /\ v e. (x \ {z})))
17		eldifsn 2453	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. (x \ {z}) <-> (v e. x /\ v =/= z))
18		necom 1628	. . . . . . . . . . . 12 |- (v =/= z <-> z =/= v)
19	18	anbi2i 479	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. x /\ v =/= z) <-> (v e. x /\ z =/= v))
20	17, 19	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- (v e. (x \ {z}) <-> (v e. x /\ z =/= v))
21	20	imbi1i 186	. . . . . . . . 9 |- ((v e. (x \ {z}) -> -. y e. v) <-> ((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
22	15, 16, 21	3bitr3 181	. . . . . . . 8 |- (-. (y e. v /\ v e. (x \ {z})) <-> ((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
23	22	albii 996	. . . . . . 7 |- (A.v -. (y e. v /\ v e. (x \ {z})) <-> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
24	13, 14, 23	3bitr2 179	. . . . . 6 |- (-. y e. U.(x \ {z}) <-> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
25	11, 24	sylib 198	. . . . 5 |- ((y e. z /\ -. y e. U.(x \ {z})) -> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
26	10, 25	sylbi 199	. . . 4 |- (y e. (z \ U.(x \ {z})) -> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
27	9, 26	syl5 21	. . 3 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> (y e. (z \ U.(x \ {z})) -> -. y e. w))
28	27	r19.21aiv 1705	. 2 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> A.y e. (z \ U.(x \ {z})) -. y e. w)
29		disj 2301	. 2 |- (((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/) <-> A.y e. (z \ U.(x \ {z})) -. y e. w)
30	28, 29	sylibr 200	1 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  A.wral 1637   \ cdif 2034   i^i cin 2036  (/)c0 2270  {csn 2399  U.cuni 2493

This theorem is referenced by:  kmlem5 4741  kmlem11 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-nul 2271  df-sn 2402  df-pr 2403  df-uni 2494

Copyright terms: Public domain