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Theorem kmlem4 7967
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem4  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  w )  =  (/) )
Distinct variable group:    x, w, z

Proof of Theorem kmlem4
Dummy variables  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3274 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  -.  y  e. 
U. ( x  \  { z } ) ) )
2 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )  ->  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )
3 eluni 3961 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( x 
\  { z } )  <->  E. v ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
43notbii 288 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  U. (
x  \  { z } )  <->  -.  E. v
( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) ) )
5 alnex 1549 . . . . . . 7  |-  ( A. v  -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) )  <->  -.  E. v ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) ) )
6 con2b 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  v  ->  -.  v  e.  (
x  \  { z } ) )  <->  ( v  e.  ( x  \  {
z } )  ->  -.  y  e.  v
) )
7 imnan 412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  v  ->  -.  v  e.  (
x  \  { z } ) )  <->  -.  (
y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) ) )
8 eldifsn 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( v  e.  x  /\  v  =/=  z
) )
9 necom 2632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =/=  z  <->  z  =/=  v )
109anbi2i 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  x  /\  v  =/=  z )  <->  ( v  e.  x  /\  z  =/=  v ) )
118, 10bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( x  \  { z } )  <-> 
( v  e.  x  /\  z  =/=  v
) )
1211imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ( x 
\  { z } )  ->  -.  y  e.  v )  <->  ( (
v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
136, 7, 123bitr3i 267 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  { z } ) )  <->  ( (
v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
1413albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. v  -.  ( y  e.  v  /\  v  e.  ( x  \  {
z } ) )  <->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
154, 5, 143bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  U. (
x  \  { z } )  <->  A. v
( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
162, 15sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  y  e.  U. (
x  \  { z } ) )  ->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )
)
171, 16sylbi 188 . . . 4  |-  ( y  e.  ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  ->  A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v
) )
18 eleq1 2448 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  e.  x  <->  w  e.  x ) )
19 neeq2 2560 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
z  =/=  v  <->  z  =/=  w ) )
2018, 19anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  e.  x  /\  z  =/=  v
)  <->  ( w  e.  x  /\  z  =/=  w ) ) )
21 eleq2 2449 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  w ) )
2221notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  ( -.  y  e.  v  <->  -.  y  e.  w ) )
2320, 22imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )  <->  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w
)  ->  -.  y  e.  w ) ) )
2423spv 2034 . . . . 5  |-  ( A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v )  ->  -.  y  e.  v )  ->  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  ->  -.  y  e.  w )
)
2524com12 29 . . . 4  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( A. v ( ( v  e.  x  /\  z  =/=  v
)  ->  -.  y  e.  v )  ->  -.  y  e.  w )
)
2617, 25syl5 30 . . 3  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( y  e.  ( z  \  U. (
x  \  { z } ) )  ->  -.  y  e.  w
) )
2726ralrimiv 2732 . 2  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  ->  A. y  e.  (
z  \  U. (
x  \  { z } ) )  -.  y  e.  w )
28 disj 3612 . 2  |-  ( ( ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  i^i  w )  =  (/)  <->  A. y  e.  ( z  \  U. ( x  \  { z } ) )  -.  y  e.  w )
2927, 28sylibr 204 1  |-  ( ( w  e.  x  /\  z  =/=  w )  -> 
( ( z  \  U. ( x  \  {
z } ) )  i^i  w )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650    \ cdif 3261    i^i cin 3263   (/)c0 3572   {csn 3758   U.cuni 3958
This theorem is referenced by:  kmlem5  7968  kmlem11  7974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-v 2902  df-dif 3267  df-in 3271  df-nul 3573  df-sn 3764  df-uni 3959
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