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Theorem kmlem6 7969
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem6  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
Distinct variable groups:    v, A    x, v, ph    w, v, z, x
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    A( x, z, w)

Proof of Theorem kmlem6
StepHypRef Expression
1 r19.26 2782 . 2  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  <->  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) ) )
2 n0 3581 . . . . 5  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  z )
32biimpi 187 . . . 4  |-  ( z  =/=  (/)  ->  E. v 
v  e.  z )
4 ne0i 3578 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
54necon2bi 2597 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  v  e.  A )
65imim2i 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A  =  (/) )  ->  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
76ralimi 2725 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) )  ->  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
87alrimiv 1638 . . . 4  |-  ( A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) )  ->  A. v A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) )
9 19.29r 1604 . . . . 5  |-  ( ( E. v  v  e.  z  /\  A. v A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )  ->  E. v ( v  e.  z  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) ) )
10 df-rex 2656 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A )  <->  E. v
( v  e.  z  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) ) )
119, 10sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( E. v  v  e.  z  /\  A. v A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )  ->  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
123, 8, 11syl2an 464 . . 3  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) )
1312ralimi 2725 . 2  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) )
141, 13sylbir 205 1  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   (/)c0 3572
This theorem is referenced by:  kmlem7  7970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-v 2902  df-dif 3267  df-nul 3573
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