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Theorem kmlem6 7797
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem6  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
Distinct variable groups:    v, A    x, v, ph    w, v, z, x
Allowed substitution hints:    ph( z, w)    A( x, z, w)

Proof of Theorem kmlem6
StepHypRef Expression
1 r19.26 2688 . 2  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  <->  ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) ) )
2 n0 3477 . . . . 5  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. v  v  e.  z )
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( z  =/=  (/)  ->  E. v 
v  e.  z )
4 ne0i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
54necon2bi 2505 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  v  e.  A )
65imim2i 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A  =  (/) )  ->  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
76ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) )  ->  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
87alrimiv 1621 . . . 4  |-  ( A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) )  ->  A. v A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) )
9 19.29r 1587 . . . . 5  |-  ( ( E. v  v  e.  z  /\  A. v A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )  ->  E. v ( v  e.  z  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) ) )
10 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A )  <->  E. v
( v  e.  z  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) ) )
119, 10sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( E. v  v  e.  z  /\  A. v A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )  ->  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
123, 8, 11syl2an 463 . . 3  |-  ( ( z  =/=  (/)  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) )
1312ralimi 2631 . 2  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  /\  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A
) )
141, 13sylbir 204 1  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( ph  ->  A  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( ph  ->  -.  v  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  kmlem7  7798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-nul 3469
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