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Theorem kmlem7 8026
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 4 => 1. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem7  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
Distinct variable group:    x, v, w, z

Proof of Theorem kmlem7
StepHypRef Expression
1 kmlem6 8025 . 2  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  -.  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
2 ralinexa 2742 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
32rexbii 2722 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  E. v  e.  z  -.  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
4 rexnal 2708 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  z  -. 
E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
53, 4bitri 241 . . . 4  |-  ( E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
65ralbii 2721 . . 3  |-  ( A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  (
z  i^i  w )
) )
7 ralnex 2707 . . 3  |-  ( A. z  e.  x  -.  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) )  <->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
86, 7bitri 241 . 2  |-  ( A. z  e.  x  E. v  e.  z  A. w  e.  x  (
z  =/=  w  ->  -.  v  e.  (
z  i^i  w )
)  <->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  ( z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w
) ) )
91, 8sylib 189 1  |-  ( ( A. z  e.  x  z  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  A. w  e.  x  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  -.  E. z  e.  x  A. v  e.  z  E. w  e.  x  (
z  =/=  w  /\  v  e.  ( z  i^i  w ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311   (/)c0 3620
This theorem is referenced by:  kmlem13  8032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-dif 3315  df-nul 3621
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