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Theorem kmlem8 7799
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem8  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    y, u, w, z
Allowed substitution hints:    ps( y, z, w, u)

Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 2566 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps  <->  -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps )
2 df-rex 2562 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) )
3 rexnal 2567 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
42, 3bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
5 exsimpl 1582 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  E. w  w  e.  z )
6 n0 3477 . . . . . . . 8  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
75, 6sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  z  =/=  (/) )
84, 7sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  z  ps  ->  z  =/=  (/) )
98ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps 
->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
101, 9sylbir 204 . . . 4  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
11 biimt 325 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1211ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
13 ralbi 2692 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1514anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) ) )
1615exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
17 kmlem2 7793 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1816, 17syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1910, 18syl 15 . . 3  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2019pm5.74i 236 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
21 pm4.64 361 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <-> 
( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2220, 21bitri 240 1  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1531    e. wcel 1696   E!weu 2156    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   (/)c0 3468
This theorem is referenced by:  dfackm  7808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-sn 3659  df-pr 3660  df-uni 3844
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