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Theorem kmlem8 7783
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem8  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    y, u, w, z
Allowed substitution hints:    ps( y, z, w, u)

Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 2553 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps  <->  -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps )
2 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) )
3 rexnal 2554 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
42, 3bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
5 exsimpl 1579 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  E. w  w  e.  z )
6 n0 3464 . . . . . . . 8  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
75, 6sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  z  =/=  (/) )
84, 7sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  z  ps  ->  z  =/=  (/) )
98ralimi 2618 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps 
->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
101, 9sylbir 204 . . . 4  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
11 biimt 325 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1211ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
13 ralbi 2679 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1514anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) ) )
1615exbidv 1612 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
17 kmlem2 7777 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1816, 17syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1910, 18syl 15 . . 3  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2019pm5.74i 236 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
21 pm4.64 361 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <-> 
( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2220, 21bitri 240 1  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   (/)c0 3455
This theorem is referenced by:  dfackm  7792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647  df-uni 3828
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