MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem9 Structured version   Unicode version

Theorem kmlem9 8030
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem9  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, z, w, u, t    z, A, w
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem9
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2951 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2 eqeq1 2441 . . . . 5  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
32rexbidv 2718 . . . 4  |-  ( u  =  z  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
4 kmlem9.1 . . . 4  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
51, 3, 4elab2 3077 . . 3  |-  ( z  e.  A  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
6 vex 2951 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
7 eqeq1 2441 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  w  =  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
87rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
96, 8, 4elab2 3077 . . . 4  |-  ( w  e.  A  <->  E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
10 difeq1 3450 . . . . . . 7  |-  ( t  =  h  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
11 sneq 3817 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  h  ->  { t }  =  { h } )
1211difeq2d 3457 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  h  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { h } ) )
1312unieqd 4018 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  h  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { h } ) )
1413difeq2d 3457 . . . . . . 7  |-  ( t  =  h  ->  (
h  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )
1510, 14eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( t  =  h  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )
1615eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( t  =  h  ->  (
w  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  w  =  (
h  \  U. (
x  \  { h } ) ) ) )
1716cbvrexv 2925 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  <->  E. h  e.  x  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )
189, 17bitri 241 . . 3  |-  ( w  e.  A  <->  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) )
19 reeanv 2867 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  E. h  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  <-> 
( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  /\  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) ) )
20 eqeq12 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =  w  <->  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) ) )
2115, 20syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( t  =  h  ->  z  =  w ) )
2221necon3d 2636 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  t  =/=  h ) )
23 kmlem5 8026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  x  /\  t  =/=  h )  -> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) )  =  (/) )
24 ineq12 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) ) )
2524eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( ( z  i^i  w )  =  (/) 
<->  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) )  =  (/) ) )
2623, 25syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( ( h  e.  x  /\  t  =/=  h )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
2726exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( h  e.  x  ->  ( t  =/=  h  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
2822, 27syl5d 64 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( h  e.  x  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
2928com12 29 . . . . . 6  |-  ( h  e.  x  ->  (
( z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
3029adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  x  /\  h  e.  x )  ->  ( ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
3130rexlimivv 2827 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  E. h  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
3219, 31sylbir 205 . . 3  |-  ( ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  /\  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
335, 18, 32syl2anb 466 . 2  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
3433rgen2a 2764 1  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    i^i cin 3311   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007
This theorem is referenced by:  kmlem10  8031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-sn 3812  df-uni 4008
  Copyright terms: Public domain W3C validator