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Theorem kmlem9 7784
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
Assertion
Ref Expression
kmlem9  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, z, w, u, t    z, A, w
Allowed substitution hints:    A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem9
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . 4  |-  z  e. 
_V
2 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
32rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( u  =  z  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
4 kmlem9.1 . . . 4  |-  A  =  { u  |  E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) ) }
51, 3, 4elab2 2917 . . 3  |-  ( z  e.  A  <->  E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
6 vex 2791 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
7 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  (
u  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  w  =  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) ) ) )
87rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  ( E. t  e.  x  u  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  <->  E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) ) )
96, 8, 4elab2 2917 . . . 4  |-  ( w  e.  A  <->  E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
10 difeq1 3287 . . . . . . 7  |-  ( t  =  h  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { t } ) ) )
11 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  h  ->  { t }  =  { h } )
1211difeq2d 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  h  ->  (
x  \  { t } )  =  ( x  \  { h } ) )
1312unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  h  ->  U. (
x  \  { t } )  =  U. ( x  \  { h } ) )
1413difeq2d 3294 . . . . . . 7  |-  ( t  =  h  ->  (
h  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )
1510, 14eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( t  =  h  ->  (
t  \  U. (
x  \  { t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )
1615eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( t  =  h  ->  (
w  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  <->  w  =  (
h  \  U. (
x  \  { h } ) ) ) )
1716cbvrexv 2765 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  w  =  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  <->  E. h  e.  x  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )
189, 17bitri 240 . . 3  |-  ( w  e.  A  <->  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) )
19 reeanv 2707 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  E. h  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  <-> 
( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  /\  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) ) )
20 eqeq12 2295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =  w  <->  ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  =  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) ) )
2115, 20syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( t  =  h  ->  z  =  w ) )
2221necon3d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  t  =/=  h ) )
23 kmlem5 7780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  x  /\  t  =/=  h )  -> 
( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) )  =  (/) )
24 ineq12 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  i^i  w )  =  ( ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) ) )
2524eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( ( z  i^i  w )  =  (/) 
<->  ( ( t  \  U. ( x  \  {
t } ) )  i^i  ( h  \  U. ( x  \  {
h } ) ) )  =  (/) ) )
2623, 25syl5ibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( ( h  e.  x  /\  t  =/=  h )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
2726exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( h  e.  x  ->  ( t  =/=  h  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
2822, 27syl5d 62 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( h  e.  x  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) ) )
2928com12 27 . . . . . 6  |-  ( h  e.  x  ->  (
( z  =  ( t  \  U. (
x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
3029adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  x  /\  h  e.  x )  ->  ( ( z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \ 
U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  (
z  =/=  w  -> 
( z  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
3130rexlimivv 2672 . . . 4  |-  ( E. t  e.  x  E. h  e.  x  (
z  =  ( t 
\  U. ( x  \  { t } ) )  /\  w  =  ( h  \  U. ( x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
3219, 31sylbir 204 . . 3  |-  ( ( E. t  e.  x  z  =  ( t  \  U. ( x  \  { t } ) )  /\  E. h  e.  x  w  =  ( h  \  U. (
x  \  { h } ) ) )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) ) )
335, 18, 32syl2anb 465 . 2  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
3433rgen2a 2609 1  |-  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  =/=  w  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827
This theorem is referenced by:  kmlem10  7785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646  df-uni 3828
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