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Theorem knatar 5857
Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice  ~P A. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
knatar.1  |-  X  = 
|^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }
Assertion
Ref Expression
knatar  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  C_  A  /\  ( F `
 X )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, F, y, z    x, X, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, z)    X( z)

Proof of Theorem knatar
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knatar.1 . . 3  |-  X  = 
|^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }
2 pwidg 3637 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
323ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A  e.  ~P A )
4 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  A )  C_  A
)
5 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
6 id 19 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  z  =  A )
75, 6sseq12d 3207 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  C_  z  <->  ( F `  A )  C_  A
) )
87intminss 3888 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P A  /\  ( F `  A
)  C_  A )  ->  |^| { z  e. 
~P A  |  ( F `  z ) 
C_  z }  C_  A )
93, 4, 8syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  |^| { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  C_  A )
101, 9syl5eqss 3222 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  C_  A
)
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
12 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  z  =  w )
1311, 12sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  C_  z  <->  ( F `  w )  C_  w
) )
1413intminss 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w
)  C_  w )  ->  |^| { z  e. 
~P A  |  ( F `  z ) 
C_  z }  C_  w )
1514adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  |^| { z  e.  ~P A  |  ( F `  z )  C_  z }  C_  w )
161, 15syl5eqss 3222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  X  C_  w )
17 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
1817elpw2 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ~P w  <->  X  C_  w
)
1916, 18sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  X  e.  ~P w
)
20 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  w  e.  ~P A
)
21 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)
22 pweq 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ~P x  =  ~P w
)
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
2423sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  w )
) )
2522, 24raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  w
( F `  y
)  C_  ( F `  w ) ) )
2625rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  w ( F `  y )  C_  ( F `  w )
) )
2720, 21, 26sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  ->  A. y  e.  ~P  w ( F `  y )  C_  ( F `  w )
)
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
2928sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  w )  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  w )
) )
3029rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ~P w  -> 
( A. y  e. 
~P  w ( F `
 y )  C_  ( F `  w )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  w )
) )
3119, 27, 30sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  X
)  C_  ( F `  w ) )
32 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  w
)  C_  w )
3331, 32sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  ( w  e.  ~P A  /\  ( F `  w )  C_  w ) )  -> 
( F `  X
)  C_  w )
3433expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A
)  C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  /\  w  e.  ~P A )  ->  (
( F `  w
)  C_  w  ->  ( F `  X ) 
C_  w ) )
3534ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. w  e.  ~P  A ( ( F `  w ) 
C_  w  ->  ( F `  X )  C_  w ) )
36 ssintrab 3885 . . . . 5  |-  ( ( F `  X ) 
C_  |^| { w  e. 
~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }  <->  A. w  e.  ~P  A ( ( F `  w ) 
C_  w  ->  ( F `  X )  C_  w ) )
3735, 36sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w } )
3813cbvrabv 2787 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  =  { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }
3938inteqi 3866 . . . . 5  |-  |^| { z  e.  ~P A  | 
( F `  z
)  C_  z }  =  |^| { w  e. 
~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }
401, 39eqtri 2303 . . . 4  |-  X  = 
|^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }
4137, 40syl6sseqr 3225 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  X
)
42 elpw2g 4174 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( X  e.  ~P A  <->  X 
C_  A ) )
43423ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  e.  ~P A  <->  X  C_  A
) )
4410, 43mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  e.  ~P A )
45 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x ) )
46 pweq 3628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
47 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
4847sseq2d 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  A )
) )
4946, 48raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  A
( F `  y
)  C_  ( F `  A ) ) )
5049rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  A ( F `  y )  C_  ( F `  A )
) )
513, 45, 50sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ~P  A ( F `
 y )  C_  ( F `  A ) )
5228sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  A )  <->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
) )
5352rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ~P A  -> 
( A. y  e. 
~P  A ( F `
 y )  C_  ( F `  A )  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
) )
5444, 51, 53sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  ( F `  A )
)
5554, 4sstrd 3189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  C_  A
)
56 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
5756elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P A  <->  ( F `  X )  C_  A
)
5855, 57sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  e.  ~P A )
5956elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P X  <->  ( F `  X )  C_  X
)
6041, 59sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  e.  ~P X )
61 pweq 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ~P x  =  ~P X
)
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
6362sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  y )  C_  ( F `  X )
) )
6461, 63raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  ~P  X
( F `  y
)  C_  ( F `  X ) ) )
6564rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ~P A  -> 
( A. x  e. 
~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `
 y )  C_  ( F `  x )  ->  A. y  e.  ~P  X ( F `  y )  C_  ( F `  X )
) )
6644, 45, 65sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  A. y  e.  ~P  X ( F `
 y )  C_  ( F `  X ) )
67 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  X )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( F `  X ) ) )
6867sseq1d 3205 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  y
)  C_  ( F `  X )  <->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
) )
6968rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( F `  X )  e.  ~P X  -> 
( A. y  e. 
~P  X ( F `
 y )  C_  ( F `  X )  ->  ( F `  ( F `  X ) )  C_  ( F `  X ) ) )
7060, 66, 69sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
)
71 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( F `  X ) ) )
72 id 19 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  w  =  ( F `  X ) )
7371, 72sseq12d 3207 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  w
)  C_  w  <->  ( F `  ( F `  X
) )  C_  ( F `  X )
) )
7473intminss 3888 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  X
)  e.  ~P A  /\  ( F `  ( F `  X )
)  C_  ( F `  X ) )  ->  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w )  C_  w }  C_  ( F `  X ) )
7558, 70, 74syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  |^| { w  e.  ~P A  |  ( F `  w ) 
C_  w }  C_  ( F `  X ) )
7640, 75syl5eqss 3222 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  X  C_  ( F `  X )
)
7741, 76eqssd 3196 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( F `  X )  =  X )
7810, 77jca 518 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( F `  A ) 
C_  A  /\  A. x  e.  ~P  A A. y  e.  ~P  x ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)  ->  ( X  C_  A  /\  ( F `
 X )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   |^|cint 3862   ` cfv 5255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263
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