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Theorem knatar 6082
 Description: The Knaster-Tarski theorem says that every monotone function over a complete lattice has a (least) fixpoint. Here we specialize this theorem to the case when the lattice is the powerset lattice . (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
knatar.1
Assertion
Ref Expression
knatar
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem knatar
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knatar.1 . . 3
2 pwidg 3813 . . . . 5
323ad2ant1 979 . . . 4
4 simp2 959 . . . 4
5 fveq2 5730 . . . . . 6
6 id 21 . . . . . 6
75, 6sseq12d 3379 . . . . 5
87intminss 4078 . . . 4
93, 4, 8syl2anc 644 . . 3
101, 9syl5eqss 3394 . 2
11 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14
12 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
1311, 12sseq12d 3379 . . . . . . . . . . . . 13
1413intminss 4078 . . . . . . . . . . . 12
1514adantl 454 . . . . . . . . . . 11
161, 15syl5eqss 3394 . . . . . . . . . 10
17 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
1817elpw2 4366 . . . . . . . . . 10
1916, 18sylibr 205 . . . . . . . . 9
20 simprl 734 . . . . . . . . . 10
21 simpl3 963 . . . . . . . . . 10
22 pweq 3804 . . . . . . . . . . . 12
23 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
2423sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . 11
2625rspcv 3050 . . . . . . . . . 10
2720, 21, 26sylc 59 . . . . . . . . 9
28 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
2928sseq1d 3377 . . . . . . . . . 10
3029rspcv 3050 . . . . . . . . 9
3119, 27, 30sylc 59 . . . . . . . 8
32 simprr 735 . . . . . . . 8
3331, 32sstrd 3360 . . . . . . 7
3433expr 600 . . . . . 6
3534ralrimiva 2791 . . . . 5
36 ssintrab 4075 . . . . 5
3735, 36sylibr 205 . . . 4
3813cbvrabv 2957 . . . . . 6
3938inteqi 4056 . . . . 5
401, 39eqtri 2458 . . . 4
4137, 40syl6sseqr 3397 . . 3
42 elpw2g 4365 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
4410, 43mpbird 225 . . . . . . . 8
45 simp3 960 . . . . . . . . 9
46 pweq 3804 . . . . . . . . . . 11
47 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
4847sseq2d 3378 . . . . . . . . . . 11
4946, 48raleqbidv 2918 . . . . . . . . . 10
5049rspcv 3050 . . . . . . . . 9
513, 45, 50sylc 59 . . . . . . . 8
5228sseq1d 3377 . . . . . . . . 9
5352rspcv 3050 . . . . . . . 8
5444, 51, 53sylc 59 . . . . . . 7
5554, 4sstrd 3360 . . . . . 6
56 fvex 5744 . . . . . . 7
5756elpw 3807 . . . . . 6
5855, 57sylibr 205 . . . . 5
5956elpw 3807 . . . . . . 7
6041, 59sylibr 205 . . . . . 6
61 pweq 3804 . . . . . . . . 9
62 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
6362sseq2d 3378 . . . . . . . . 9
6461, 63raleqbidv 2918 . . . . . . . 8
6564rspcv 3050 . . . . . . 7
6644, 45, 65sylc 59 . . . . . 6
67 fveq2 5730 . . . . . . . 8
6867sseq1d 3377 . . . . . . 7
6968rspcv 3050 . . . . . 6
7060, 66, 69sylc 59 . . . . 5
71 fveq2 5730 . . . . . . 7
72 id 21 . . . . . . 7
7371, 72sseq12d 3379 . . . . . 6
7473intminss 4078 . . . . 5
7558, 70, 74syl2anc 644 . . . 4
7640, 75syl5eqss 3394 . . 3
7741, 76eqssd 3367 . 2
7810, 77jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711   wss 3322  cpw 3801  cint 4052  cfv 5456 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464
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