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Theorem konigsberg 21711
 Description: The Konigsberg Bridge problem. If is the graph on four vertices , with edges , then vertices each have degree three, and has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 21705 the graph cannot have an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v
konigsberg.e
Assertion
Ref Expression
konigsberg EulPaths

Proof of Theorem konigsberg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7383 . . . . . 6
2 3ne0 10087 . . . . . . 7
3 1re 9092 . . . . . . . 8
4 1lt3 10146 . . . . . . . 8
53, 4gtneii 9187 . . . . . . 7
62, 5nelpri 3837 . . . . . 6
7 3nn0 10241 . . . . . . 7
8 hashunsng 11667 . . . . . . 7
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6
101, 6, 9mp2an 655 . . . . 5
11 df-3 10061 . . . . . 6
12 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . 9
1312necomi 2688 . . . . . . . 8
14 0nn0 10238 . . . . . . . . 9
15 1nn0 10239 . . . . . . . . 9
16 hashprg 11668 . . . . . . . . 9
1714, 15, 16mp2an 655 . . . . . . . 8
1813, 17mpbi 201 . . . . . . 7
1918oveq1i 6093 . . . . . 6
2011, 19eqtr4i 2461 . . . . 5
2110, 20eqtr4i 2461 . . . 4
22 konigsberg.v . . . . . . . 8
23 fzfi 11313 . . . . . . . 8
2422, 23eqeltri 2508 . . . . . . 7
25 ssrab2 3430 . . . . . . 7 VDeg
26 ssfi 7331 . . . . . . 7 VDeg VDeg
2724, 25, 26mp2an 655 . . . . . 6 VDeg
28 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . 12
297, 28eleqtri 2510 . . . . . . . . . . 11
30 eluzfz1 11066 . . . . . . . . . . 11
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
3231, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . 9
33 2nn 10135 . . . . . . . . . 10
34 1nn 10013 . . . . . . . . . 10
35 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . 13
3635mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . 12
3736oveq1i 6093 . . . . . . . . . . 11
3837, 11eqtr4i 2461 . . . . . . . . . 10
39 1lt2 10144 . . . . . . . . . 10
4033, 15, 34, 38, 39ndvdsi 12932 . . . . . . . . 9
41 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
4224elexi 2967 . . . . . . . . . . . . . 14
43 df-s6 11818 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat
44 df-s5 11817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 concat
45 df-s4 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 concat
46 df-s3 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 concat
47 df-s2 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 concat
48 3re 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
493, 48, 4ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5015, 28eleqtri 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
517nn0zi 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
52 elfz5 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5350, 51, 52mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5449, 53mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5554, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5642, 32, 55umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756s1cld 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
58 2re 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
59 2lt3 10145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6058, 48, 59ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
61 2nn0 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6261, 28eleqtri 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63 elfz5 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6462, 51, 63mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6560, 64mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6742, 32, 66umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6847, 57, 67cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
69 eluzfz2 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7029, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7242, 32, 71umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7346, 68, 72cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
7442, 55, 66umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7545, 73, 74cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
7644, 75, 74cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
7742, 66, 71umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . 15
7843, 76, 77cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
79 wrd0 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word
8142, 32vdeg0i 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
82 1e0p1 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
83 s0s1 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 concat
8442, 80, 32, 81, 82, 55, 12, 83vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
85 df-2 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
86 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8742, 57, 32, 84, 85, 66, 86, 47vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VDeg
8842, 68, 32, 87, 11, 71, 2, 46vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VDeg
8942, 73, 32, 88, 55, 12, 66, 86, 45vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 VDeg
9042, 75, 32, 89, 55, 12, 66, 86, 44vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
9142, 76, 32, 90, 66, 86, 71, 2, 43vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg
92 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15
93 df-s7 11819 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat
9492, 93eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14 concat
9542, 78, 32, 91, 66, 86, 71, 2, 94vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg
9641, 95syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12 VDeg
9796breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11 VDeg
9897notbid 287 . . . . . . . . . 10 VDeg
9998elrab 3094 . . . . . . . . 9 VDeg
10032, 40, 99mpbir2an 888 . . . . . . . 8 VDeg
101 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
10242, 55vdeg0i 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
10342, 80, 55, 102, 82, 32, 13, 83vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
1043, 39gtneii 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10542, 57, 55, 103, 32, 13, 66, 104, 47vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VDeg
10642, 68, 55, 105, 32, 13, 71, 5, 46vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VDeg
10742, 73, 55, 106, 85, 66, 104, 45vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 VDeg
10842, 75, 55, 107, 11, 66, 104, 44vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
10942, 76, 55, 108, 66, 104, 71, 5, 43vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg
11042, 78, 55, 109, 66, 104, 71, 5, 94vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg
111101, 110syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12 VDeg
112111breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11 VDeg
113112notbid 287 . . . . . . . . . 10 VDeg
114113elrab 3094 . . . . . . . . 9 VDeg
11555, 40, 114mpbir2an 888 . . . . . . . 8 VDeg
116 prssi 3956 . . . . . . . 8 VDeg VDeg VDeg
117100, 115, 116mp2an 655 . . . . . . 7 VDeg
118 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg VDeg
11942, 71vdeg0i 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VDeg
120 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121 3pos 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122120, 121ltneii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1233, 4ltneii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12442, 80, 71, 119, 32, 122, 55, 123, 83vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VDeg
12558, 59ltneii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12642, 57, 71, 124, 32, 122, 66, 125, 47vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VDeg
12742, 68, 71, 126, 82, 32, 122, 46vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 VDeg
12842, 73, 71, 127, 55, 123, 66, 125, 45vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 VDeg
12942, 75, 71, 128, 55, 123, 66, 125, 44vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . 15 VDeg
13042, 76, 71, 129, 85, 66, 125, 43vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . . 14 VDeg
13142, 78, 71, 130, 11, 66, 125, 94vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . 13 VDeg
132118, 131syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12 VDeg
133132breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11 VDeg
134133notbid 287 . . . . . . . . . 10 VDeg
135134elrab 3094 . . . . . . . . 9 VDeg
13671, 40, 135mpbir2an 888 . . . . . . . 8 VDeg
137 snssi 3944 . . . . . . . 8 VDeg VDeg
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . 7 VDeg
139117, 138unssi 3524 . . . . . 6 VDeg
140 ssdomg 7155 . . . . . 6 VDeg VDeg VDeg
14127, 139, 140mp2 9 . . . . 5 VDeg
142 snfi 7189 . . . . . . 7
143 unfi 7376 . . . . . . 7
1441, 142, 143mp2an 655 . . . . . 6
145 hashdom 11655 . . . . . 6 VDeg VDeg VDeg
146144, 27, 145mp2an 655 . . . . 5 VDeg VDeg
147141, 146mpbir 202 . . . 4 VDeg
14821, 147eqbrtrri 4235 . . 3 VDeg
149 hashcl 11641 . . . . . 6 VDeg VDeg
15027, 149ax-mp 8 . . . . 5 VDeg
151150nn0rei 10234 . . . 4 VDeg
15248, 151lenlti 9195 . . 3 VDeg VDeg
153148, 152mpbi 201 . 2 VDeg
154 eupath 21705 . . . 4 EulPaths VDeg
155 elpri 3836 . . . 4 VDeg VDeg VDeg
156 id 21 . . . . . 6 VDeg VDeg
157156, 121syl6eqbr 4251 . . . . 5 VDeg VDeg
158 id 21 . . . . . 6 VDeg VDeg
159158, 59syl6eqbr 4251 . . . . 5 VDeg VDeg
160157, 159jaoi 370 . . . 4 VDeg VDeg VDeg
161154, 155, 1603syl 19 . . 3 EulPaths VDeg
162161necon1bi 2649 . 2 VDeg EulPaths
163153, 162ax-mp 8 1 EulPaths
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  crab 2711   cdif 3319   cun 3320   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cpr 3817   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083   cdom 7109  cfn 7111  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   clt 9122   cle 9123  c2 10051  c3 10052  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  cfz 11045  chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720  cs1 11721  cs2 11807  cs3 11808  cs4 11809  cs5 11810  cs6 11811  cs7 11812   cdivides 12854   VDeg cvdg 21666   EulPaths ceup 21686 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-s2 11814  df-s3 11815  df-s4 11816  df-s5 11817  df-s6 11818  df-s7 11819  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-prm 13082  df-umgra 21350  df-vdgr 21667  df-eupa 21687
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