MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberg Structured version   Unicode version

Theorem konigsberg 21711
Description: The Konigsberg Bridge problem. If  <. V ,  E >. is the graph on four vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3, with edges  { 0 ,  1 } ,  { 0 ,  2 } ,  { 0 ,  3 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 1 ,  2 } ,  {
2 ,  3 } ,  { 2 ,  3 }, then vertices  0 ,  1 ,  3 each have degree three, and  2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 21705 the graph cannot have an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
konigsberg.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
konigsberg  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)

Proof of Theorem konigsberg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7383 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2 3ne0 10087 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 1lt3 10146 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
53, 4gtneii 9187 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
62, 5nelpri 3837 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 0 ,  1 }
7 3nn0 10241 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
8 hashunsng 11667 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) )
101, 6, 9mp2an 655 . . . . 5  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
11 df-3 10061 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
12 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
1312necomi 2688 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
14 0nn0 10238 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
15 1nn0 10239 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
16 hashprg 11668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
1714, 15, 16mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
1813, 17mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
1918oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
2011, 19eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  3  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
2110, 20eqtr4i 2461 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  3
22 konigsberg.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
23 fzfi 11313 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2422, 23eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  V  e. 
Fin
25 ssrab2 3430 . . . . . . 7  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  C_  V
26 ssfi 7331 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  C_  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )
2724, 25, 26mp2an 655 . . . . . 6  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin
28 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
297, 28eleqtri 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
30 eluzfz1 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 3
) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 ... 3
)
3231, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  V
33 2nn 10135 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
34 1nn 10013 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
35 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
3635mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3736oveq1i 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
3837, 11eqtr4i 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
39 1lt2 10144 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
4033, 15, 34, 38, 39ndvdsi 12932 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  3
41 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 0 ) )
4224elexi 2967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
43 df-s6 11818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> concat 
<" { 2 ,  3 } "> )
44 df-s5 11817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 } ">  =  (
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> concat  <" {
1 ,  2 } "> )
45 df-s4 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> concat  <" { 1 ,  2 } "> )
46 df-s3 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } "> concat  <" {
0 ,  3 } "> )
47 df-s2 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 } "> concat 
<" { 0 ,  2 } "> )
48 3re 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  RR
493, 48, 4ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  3
5015, 28eleqtri 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
517nn0zi 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  ZZ
52 elfz5 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
5350, 51, 52mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
5449, 53mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
5554, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  V
5642, 32, 55umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  T. 
->  { 0 ,  1 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
5756s1cld 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
58 2re 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
59 2lt3 10145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  3
6058, 48, 59ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  3
61 2nn0 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  NN0
6261, 28eleqtri 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
63 elfz5 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 ) )
6462, 51, 63mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 )
6560, 64mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( 0 ... 3
)
6665, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  V
6742, 32, 66umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  { 0 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
6847, 57, 67cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
69 eluzfz2 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  3  e.  ( 0 ... 3
) )
7029, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  ( 0 ... 3
)
7170, 22eleqtrri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  V
7242, 32, 71umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  T. 
->  { 0 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7346, 68, 72cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
7442, 55, 66umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  { 1 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7545, 73, 74cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7644, 75, 74cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7742, 66, 71umgrabi 21707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  { 2 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7843, 76, 77cats1cld 11821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
79 wrd0 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  T. 
->  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
8142, 32vdeg0i 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  0
)  =  0
82 1e0p1 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =  ( 0  +  1 )
83 s0s1 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <" {
0 ,  1 } ">  =  (
(/) concat  <" { 0 ,  1 } "> )
8442, 80, 32, 81, 82, 55, 12, 83vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  0 )  =  1
85 df-2 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
86 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
8742, 57, 32, 84, 85, 66, 86, 47vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
0 )  =  2
8842, 68, 32, 87, 11, 71, 2, 46vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  0 )  =  3
8942, 73, 32, 88, 55, 12, 66, 86, 45vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9042, 75, 32, 89, 55, 12, 66, 86, 44vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9142, 76, 32, 90, 66, 86, 71, 2, 43vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
0 )  =  3
92 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
93 df-s7 11819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9492, 93eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9542, 78, 32, 91, 66, 86, 71, 2, 94vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
0 )  =  3
9641, 95syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
9796breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
9897notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
9998elrab 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 0  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
10032, 40, 99mpbir2an 888 . . . . . . . 8  |-  0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
101 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 1 ) )
10242, 55vdeg0i 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  1
)  =  0
10342, 80, 55, 102, 82, 32, 13, 83vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  1 )  =  1
1043, 39gtneii 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  1
10542, 57, 55, 103, 32, 13, 66, 104, 47vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
1 )  =  1
10642, 68, 55, 105, 32, 13, 71, 5, 46vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  1 )  =  1
10742, 73, 55, 106, 85, 66, 104, 45vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  2
10842, 75, 55, 107, 11, 66, 104, 44vdegp1bi 21709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  3
10942, 76, 55, 108, 66, 104, 71, 5, 43vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
1 )  =  3
11042, 78, 55, 109, 66, 104, 71, 5, 94vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
1 )  =  3
111101, 110syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
112111breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
113112notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
114113elrab 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 1  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
11555, 40, 114mpbir2an 888 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
116 prssi 3956 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  /\  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  ->  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
117100, 115, 116mp2an 655 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }
118 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 3 ) )
11942, 71vdeg0i 21706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  3
)  =  0
120 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
121 3pos 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  3
122120, 121ltneii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  =/=  3
1233, 4ltneii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  3
12442, 80, 71, 119, 32, 122, 55, 123, 83vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  3 )  =  0
12558, 59ltneii 9188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  3
12642, 57, 71, 124, 32, 122, 66, 125, 47vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
3 )  =  0
12742, 68, 71, 126, 82, 32, 122, 46vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  3 )  =  1
12842, 73, 71, 127, 55, 123, 66, 125, 45vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12942, 75, 71, 128, 55, 123, 66, 125, 44vdegp1ai 21708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
13042, 76, 71, 129, 85, 66, 125, 43vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
3 )  =  2
13142, 78, 71, 130, 11, 66, 125, 94vdegp1ci 21710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
3 )  =  3
132118, 131syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
133132breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  3  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
134133notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  3  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
135134elrab 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 3  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
13671, 40, 135mpbir2an 888 . . . . . . . 8  |-  3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
137 snssi 3944 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }  ->  { 3 } 
C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { 3 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
139117, 138unssi 3524 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
140 ssdomg 7155 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } ) )
14127, 139, 140mp2 9 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }
142 snfi 7189 . . . . . . 7  |-  { 3 }  e.  Fin
143 unfi 7376 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  { 3 }  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e. 
Fin )
1441, 142, 143mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e.  Fin
145 hashdom 11655 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <-> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } ) )
146144, 27, 145mp2an 655 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  <_  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <->  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
147141, 146mpbir 202 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
14821, 147eqbrtrri 4235 . . 3  |-  3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
149 hashcl 11641 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0 )
15027, 149ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0
151150nn0rei 10234 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  RR
15248, 151lenlti 9195 . . 3  |-  ( 3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <->  -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
153148, 152mpbi 201 . 2  |-  -.  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
154 eupath 21705 . . . 4  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  e.  {
0 ,  2 } )
155 elpri 3836 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  e. 
{ 0 ,  2 }  ->  ( ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 ) )
156 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0 )
157156, 121syl6eqbr 4251 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
158 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 )
159158, 59syl6eqbr 4251 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
160157, 159jaoi 370 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  2 )  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
161154, 155, 1603syl 19 . . 3  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
)
162161necon1bi 2649 . 2  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3  ->  ( V EulPaths  E )  =  (/) )
163153, 162ax-mp 8 1  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ~<_ cdom 7109   Fincfn 7111   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123   2c2 10051   3c3 10052   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   #chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720   <"cs1 11721   <"cs2 11807   <"cs3 11808   <"cs4 11809   <"cs5 11810   <"cs6 11811   <"cs7 11812    || cdivides 12854   VDeg cvdg 21666   EulPaths ceup 21686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-s2 11814  df-s3 11815  df-s4 11816  df-s5 11817  df-s6 11818  df-s7 11819  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-prm 13082  df-umgra 21350  df-vdgr 21667  df-eupa 21687
  Copyright terms: Public domain W3C validator