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Theorem konigthlem 8206
Description: Lemma for konigth 8207. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
konigth.1  |-  A  e. 
_V
konigth.2  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
konigth.3  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
konigth.4  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
konigth.5  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
Assertion
Ref Expression
konigthlem  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Distinct variable groups:    A, a,
e, f, i    D, a, e    E, a, i    M, a, f    N, a, e, f    P, a, e, f    S, a, e, f
Allowed substitution hints:    D( f, i)    P( i)    S( i)    E( e, f)    M( e, i)    N( i)

Proof of Theorem konigthlem
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( M `
 i )  e. 
_V
2 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  a ) `
 i )  e. 
_V
3 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )
42, 3fnmpti 5388 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  Fn  ( M `  i )
51mptex 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) )  e.  _V
6 konigth.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( i  e.  A  |->  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) )
76fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) )  e.  _V )  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `
 i )  |->  ( ( f `  a
) `  i )
) )
85, 7mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  =  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) )
98fneq1d 5351 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  <->  ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) )  Fn  ( M `  i
) ) )
104, 9mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  A  ->  ( D `  i )  Fn  ( M `  i
) )
11 fnrndomg 8176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  i )  e.  _V  ->  (
( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  ->  ran  ( D `  i
)  ~<_  ( M `  i ) ) )
121, 10, 11mpsyl 59 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  A  ->  ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `  i
) )
13 domsdomtr 7012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( D `  i )  ~<_  ( M `
 i )  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
1412, 13sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  ran  ( D `  i ) 
~<  ( N `  i
) )
15 sdomdif 7025 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( D `  i
)  ~<  ( N `  i )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
) )  ->  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/) )
1716ralimiaa 2630 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  =/=  (/) )
18 konigth.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
19 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( N `
 i )  e. 
_V
20 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  C_  ( N `  i )
2119, 20ssexi 4175 . . . . . 6  |-  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  e. 
_V
2218, 21ac6c5 8125 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  (
( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  =/=  (/)  ->  E. e A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
23 equid 1662 . . . . . . 7  |-  f  =  f
24 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  (
e `  i )  e.  ( N `  i
) )
25 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e `
 i )  e. 
_V
26 konigth.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  ( i  e.  A  |->  ( e `  i
) )
2726fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  A  /\  ( e `  i
)  e.  _V )  ->  ( E `  i
)  =  ( e `
 i ) )
2825, 27mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  A  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
2928eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  A  ->  (
( E `  i
)  e.  ( N `
 i )  <->  ( e `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3024, 29syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  (
( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  -> 
( E `  i
)  e.  ( N `
 i ) ) )
3130ralimia 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) )
3225, 26fnmpti 5388 . . . . . . . . . . 11  |-  E  Fn  A
3331, 32jctil 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3418mptex 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  |->  ( e `
 i ) )  e.  _V
3526, 34eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  E  e. 
_V
3635elixp 6839 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i )  <-> 
( E  Fn  A  /\  A. i  e.  A  ( E `  i )  e.  ( N `  i ) ) )
3733, 36sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  X_ i  e.  A  ( N `  i ) )
38 konigth.3 . . . . . . . . 9  |-  P  = 
X_ i  e.  A  ( N `  i )
3937, 38syl6eleqr 2387 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  E  e.  P )
40 foelrn 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : S -onto-> P  /\  E  e.  P
)  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a
) )
4140expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  P  ->  (
f : S -onto-> P  ->  E. a  e.  S  E  =  ( f `  a ) ) )
42 konigth.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  = 
U_ i  e.  A  ( M `  i )
4342eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  S  <->  a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i ) )
44 eliun 3925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  U_ i  e.  A  ( M `  i )  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
4543, 44bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  S  <->  E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i ) )
46 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )
47 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i  E  =  ( f `
 a )
4846, 47nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )
49 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i  -.  f  =  f
5028ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( e `  i ) )
51 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E  =  ( f `  a )  ->  ( E `  i )  =  ( ( f `
 a ) `  i ) )
528fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  e.  A  ->  (
( D `  i
) `  a )  =  ( ( a  e.  ( M `  i )  |->  ( ( f `  a ) `
 i ) ) `
 a ) )
533fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  e.  ( M `
 i )  /\  ( ( f `  a ) `  i
)  e.  _V )  ->  ( ( a  e.  ( M `  i
)  |->  ( ( f `
 a ) `  i ) ) `  a )  =  ( ( f `  a
) `  i )
)
542, 53mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  e.  ( M `  i )  ->  (
( a  e.  ( M `  i ) 
|->  ( ( f `  a ) `  i
) ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5552, 54sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  =  ( ( f `  a ) `
 i ) )
5655eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( f `  a ) `  i
)  =  ( ( D `  i ) `
 a ) )
5751, 56sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  ( E `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
5850, 57eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  =  ( ( D `
 i ) `  a ) )
59 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( D `  i
)  Fn  ( M `
 i )  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6010, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) )  -> 
( ( D `  i ) `  a
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
( D `  i
) `  a )  e.  ran  ( D `  i ) )
6258, 61eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  =  ( f `
 a )  /\  ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i )
) )  ->  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
63623adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
64 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) ) )
65 simp3l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  i  e.  A
)
66 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  ( e `
 i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) ) ) )
67 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( e `  i )  e.  ( ( N `
 i )  \  ran  ( D `  i
) )  ->  -.  ( e `  i
)  e.  ran  ( D `  i )
)
6866, 67syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( i  e.  A  ->  -.  (
e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) ) )
6964, 65, 68sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  ( e `  i )  e.  ran  ( D `  i ) )
7063, 69pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )
7170pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a )  /\  (
i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i ) ) )  ->  -.  f  =  f )
72713expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( ( i  e.  A  /\  a  e.  ( M `  i
) )  ->  -.  f  =  f )
)
7372exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( i  e.  A  ->  ( a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) ) )
7448, 49, 73rexlimd 2677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( E. i  e.  A  a  e.  ( M `  i )  ->  -.  f  =  f ) )
7545, 74syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. i  e.  A  ( e `  i
)  e.  ( ( N `  i ) 
\  ran  ( D `  i ) )  /\  E  =  ( f `  a ) )  -> 
( a  e.  S  ->  -.  f  =  f ) )
7675ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  (
a  e.  S  ->  -.  f  =  f
) ) )
7776com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( a  e.  S  ->  ( E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
) )
7877rexlimdv 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E. a  e.  S  E  =  ( f `  a )  ->  -.  f  =  f )
)
7941, 78syl9r 67 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( E  e.  P  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f
) ) )
8039, 79mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  ( f : S -onto-> P  ->  -.  f  =  f ) )
8123, 80mt2i 110 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  (
e `  i )  e.  ( ( N `  i )  \  ran  ( D `  i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8281exlimiv 1624 . . . . 5  |-  ( E. e A. i  e.  A  ( e `  i )  e.  ( ( N `  i
)  \  ran  ( D `
 i ) )  ->  -.  f : S -onto-> P )
8317, 22, 823syl 18 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  f : S -onto-> P )
8483nexdv 1869 . . 3  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  E. f 
f : S -onto-> P
)
8510dom 7007 . . . . . . . 8  |-  (/)  ~<_  ( M `
 i )
86 domsdomtr 7012 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<_  ( M `  i )  /\  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
) )  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
8785, 86mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  ( N `  i )
)
88190sdom 7008 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ~< 
( N `  i
)  <->  ( N `  i )  =/=  (/) )
8987, 88sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  ->  ( N `  i )  =/=  (/) )
9089ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9138neeq1i 2469 . . . . . 6  |-  ( P  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9219rgenw 2623 . . . . . . . . 9  |-  A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
93 ixpexg 6856 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V  ->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V )
9492, 93ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  X_ i  e.  A  ( N `  i )  e.  _V
9538, 94eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
96950sdom 7008 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  P 
<->  P  =/=  (/) )
9718, 19ac9 8126 . . . . . 6  |-  ( A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/)  <->  X_ i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9891, 96, 973bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( (/)  ~<  P 
<-> 
A. i  e.  A  ( N `  i )  =/=  (/) )
9990, 98sylibr 203 . . . 4  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  (/)  ~<  P )
10018, 1iunex 5786 . . . . . . 7  |-  U_ i  e.  A  ( M `  i )  e.  _V
10142, 100eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
102 domtri 8194 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P ) )
10395, 101, 102mp2an 653 . . . . 5  |-  ( P  ~<_  S  <->  -.  S  ~<  P )
104103biimpri 197 . . . 4  |-  ( -.  S  ~<  P  ->  P  ~<_  S )
105 fodomr 7028 . . . 4  |-  ( (
(/)  ~<  P  /\  P  ~<_  S )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10699, 104, 105syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A. i  e.  A  ( M `  i ) 
~<  ( N `  i
)  /\  -.  S  ~<  P )  ->  E. f 
f : S -onto-> P
)
10784, 106mtand 640 . 2  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  -.  -.  S  ~<  P )
108 notnot 282 . 2  |-  ( S 
~<  P  <->  -.  -.  S  ~<  P )
109107, 108sylibr 203 1  |-  ( A. i  e.  A  ( M `  i )  ~<  ( N `  i
)  ->  S  ~<  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271   X_cixp 6833    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878
This theorem is referenced by:  konigth  8207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-card 7588  df-acn 7591  df-ac 7759
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