MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqf Structured version   Unicode version

Theorem kqf 17779
Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqf  |- KQ : Top --> Kol2

Proof of Theorem kqf
Dummy variables  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6106 . . 3  |-  ( j qTop  ( x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
2 df-kq 17726 . . 3  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
31, 2fnmpti 5573 . 2  |- KQ  Fn  Top
4 kqt0 17778 . . . 4  |-  ( x  e.  Top  <->  (KQ `  x
)  e.  Kol2 )
54biimpi 187 . . 3  |-  ( x  e.  Top  ->  (KQ `  x )  e.  Kol2 )
65rgen 2771 . 2  |-  A. x  e.  Top  (KQ `  x
)  e.  Kol2
7 ffnfv 5894 . 2  |-  (KQ : Top
--> Kol2  <->  (KQ  Fn  Top  /\ 
A. x  e.  Top  (KQ `  x )  e. 
Kol2 ) )
83, 6, 7mpbir2an 887 1  |- KQ : Top --> Kol2
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   U.cuni 4015    e. cmpt 4266    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   qTop cqtop 13729   Topctop 16958   Kol2ct0 17370  KQckq 17725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-qtop 13733  df-top 16963  df-topon 16966  df-t0 17377  df-kq 17726
  Copyright terms: Public domain W3C validator