MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqffn Structured version   Unicode version

Theorem kqffn 17788
Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqffn  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    F( x, y)    V( y)

Proof of Theorem kqffn
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3414 . . . . 5  |-  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J
2 elpw2g 4392 . . . . 5  |-  ( J  e.  V  ->  ( { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J ) )
31, 2mpbiri 226 . . . 4  |-  ( J  e.  V  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J )
43adantr 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J
)
5 kqval.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
64, 5fmptd 5922 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  F : X --> ~P J )
7 ffn 5620 . 2  |-  ( F : X --> ~P J  ->  F  Fn  X )
86, 7syl 16 1  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   {crab 2715    C_ wss 3306   ~Pcpw 3823    e. cmpt 4291    Fn wfn 5478   -->wf 5479
This theorem is referenced by:  kqtopon  17790  kqid  17791  ist0-4  17792  kqfvima  17793  kqsat  17794  kqdisj  17795  kqcldsat  17796  kqopn  17797  kqcld  17798  kqt0lem  17799  isr0  17800  r0cld  17801  regr1lem2  17803  kqreglem1  17804  kqreglem2  17805  kqnrmlem1  17806  kqnrmlem2  17807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-fv 5491
  Copyright terms: Public domain W3C validator