MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqffn Unicode version

Theorem kqffn 17710
Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqffn  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    F( x, y)    V( y)

Proof of Theorem kqffn
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J
2 elpw2g 4323 . . . . 5  |-  ( J  e.  V  ->  ( { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J ) )
31, 2mpbiri 225 . . . 4  |-  ( J  e.  V  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J )
43adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J
)
5 kqval.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
64, 5fmptd 5852 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  F : X --> ~P J )
7 ffn 5550 . 2  |-  ( F : X --> ~P J  ->  F  Fn  X )
86, 7syl 16 1  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   -->wf 5409
This theorem is referenced by:  kqtopon  17712  kqid  17713  ist0-4  17714  kqfvima  17715  kqsat  17716  kqdisj  17717  kqcldsat  17718  kqopn  17719  kqcld  17720  kqt0lem  17721  isr0  17722  r0cld  17723  regr1lem2  17725  kqreglem1  17726  kqreglem2  17727  kqnrmlem1  17728  kqnrmlem2  17729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator