MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqffn Unicode version

Theorem kqffn 17416
Description: The topological indistinguishability map is a function on the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqffn  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    F( x, y)    V( y)

Proof of Theorem kqffn
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J
2 elpw2g 4174 . . . . 5  |-  ( J  e.  V  ->  ( { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  C_  J ) )
31, 2mpbiri 224 . . . 4  |-  ( J  e.  V  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J )
43adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  J  |  x  e.  y }  e.  ~P J
)
5 kqval.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
64, 5fmptd 5684 . 2  |-  ( J  e.  V  ->  F : X --> ~P J )
7 ffn 5389 . 2  |-  ( F : X --> ~P J  ->  F  Fn  X )
86, 7syl 15 1  |-  ( J  e.  V  ->  F  Fn  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   -->wf 5251
This theorem is referenced by:  kqtopon  17418  kqid  17419  ist0-4  17420  kqfvima  17421  kqsat  17422  kqdisj  17423  kqcldsat  17424  kqopn  17425  kqcld  17426  kqt0lem  17427  isr0  17428  r0cld  17429  regr1lem2  17431  kqreglem1  17432  kqreglem2  17433  kqnrmlem1  17434  kqnrmlem2  17435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator