Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqfvima Structured version   Unicode version

Theorem kqfvima 17754
 Description: When the image set is open, the quotient map satisfies a partial converse to fnfvima 5968, which is normally only true for injective functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
kqfvima TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem kqfvima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5
21kqffn 17749 . . . 4 TopOn
323ad2ant1 978 . . 3 TopOn
4 toponss 16986 . . . 4 TopOn
543adant3 977 . . 3 TopOn
6 fnfvima 5968 . . . 4
763expia 1155 . . 3
83, 5, 7syl2anc 643 . 2 TopOn
9 fnfun 5534 . . . 4
10 fvelima 5770 . . . . 5
1110ex 424 . . . 4
123, 9, 113syl 19 . . 3 TopOn
13 simpr 448 . . . . 5 TopOn
14 simpl1 960 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
155sselda 3340 . . . . . . . . 9 TopOn
16 simpl3 962 . . . . . . . . 9 TopOn
171kqfeq 17748 . . . . . . . . 9 TopOn
1814, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . 8 TopOn
19 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
20 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
2119, 20bibi12d 313 . . . . . . . . 9
2221cbvralv 2924 . . . . . . . 8
2318, 22syl6bb 253 . . . . . . 7 TopOn
24 simpl2 961 . . . . . . . 8 TopOn
25 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
26 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
2725, 26bibi12d 313 . . . . . . . . 9
2827rspcv 3040 . . . . . . . 8
2924, 28syl 16 . . . . . . 7 TopOn
3023, 29sylbid 207 . . . . . 6 TopOn
31 bi1 179 . . . . . 6
3230, 31syl6 31 . . . . 5 TopOn
3313, 32mpid 39 . . . 4 TopOn
3433rexlimdva 2822 . . 3 TopOn
3512, 34syld 42 . 2 TopOn
368, 35impbid 184 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312   cmpt 4258  cima 4873   wfun 5440   wfn 5441  cfv 5446  TopOnctopon 16951 This theorem is referenced by:  kqsat  17755  kqdisj  17756  kqcldsat  17757  kqt0lem  17760  isr0  17761  regr1lem  17763  kqreglem1  17765  kqreglem2  17766 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-topon 16958
 Copyright terms: Public domain W3C validator