MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqhmph Unicode version

Theorem kqhmph 17772
Description: A topological space is T0 iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqhmph  |-  ( J  e.  Kol2  <->  J  ~=  (KQ `  J ) )

Proof of Theorem kqhmph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t0top 17315 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  e. 
Top )
2 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16921 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 189 . . . . 5  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65t0kq 17771 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Kol2  <->  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) ) ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( J  e.  Kol2  ->  ( J  e.  Kol2  <->  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) ) ) )
87ibi 233 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  ->  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  e.  ( J 
Homeo  (KQ `  J ) ) )
9 hmphi 17730 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) )  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
11 hmphsym 17735 . . 3  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
12 hmphtop1 17732 . . . 4  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  J  e.  Top )
13 kqt0 17699 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
1412, 13sylib 189 . . 3  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
15 t0hmph 17743 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  ->  J  e.  Kol2 ) )
1611, 14, 15sylc 58 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  J  e.  Kol2 )
1710, 16impbii 181 1  |-  ( J  e.  Kol2  <->  J  ~=  (KQ `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1717   {crab 2653   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Topctop 16881  TopOnctopon 16882   Kol2ct0 17292  KQckq 17646    Homeo chmeo 17706    ~= chmph 17707
This theorem is referenced by:  ist1-5lem  17773  t1r0  17774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-suc 4528  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-1o 6660  df-map 6956  df-qtop 13660  df-top 16886  df-topon 16889  df-cn 17213  df-t0 17299  df-kq 17647  df-hmeo 17708  df-hmph 17709
  Copyright terms: Public domain W3C validator