MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqhmph Structured version   Unicode version

Theorem kqhmph 17843
Description: A topological space is T0 iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqhmph  |-  ( J  e.  Kol2  <->  J  ~=  (KQ `  J ) )

Proof of Theorem kqhmph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t0top 17385 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  e. 
Top )
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16990 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 189 . . . . 5  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65t0kq 17842 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Kol2  <->  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) ) ) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( J  e.  Kol2  ->  ( J  e.  Kol2  <->  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  e.  ( J  Homeo  (KQ
`  J ) ) ) )
87ibi 233 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  ->  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  e.  ( J 
Homeo  (KQ `  J ) ) )
9 hmphi 17801 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  e.  ( J  Homeo  (KQ `  J
) )  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
11 hmphsym 17806 . . 3  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
12 hmphtop1 17803 . . . 4  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  J  e.  Top )
13 kqt0 17770 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
1412, 13sylib 189 . . 3  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
15 t0hmph 17814 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  ->  J  e.  Kol2 ) )
1611, 14, 15sylc 58 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  J  e.  Kol2 )
1710, 16impbii 181 1  |-  ( J  e.  Kol2  <->  J  ~=  (KQ `  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1725   {crab 2701   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Kol2ct0 17362  KQckq 17717    Homeo chmeo 17777    ~= chmph 17778
This theorem is referenced by:  ist1-5lem  17844  t1r0  17845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-1o 6716  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283  df-t0 17369  df-kq 17718  df-hmeo 17779  df-hmph 17780
  Copyright terms: Public domain W3C validator