MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrm Structured version   Unicode version

Theorem kqnrm 17789
Description: The Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqnrm  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )

Proof of Theorem kqnrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17405 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 17003 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 190 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65kqnrmlem1 17780 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  e.  Nrm )  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
74, 6mpancom 652 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
8 nrmtop 17405 . . . . 5  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
9 kqtop 17782 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
108, 9sylibr 205 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Top )
1110, 3sylib 190 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
125kqnrmlem2 17781 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Nrm )  ->  J  e.  Nrm )
1311, 12mpancom 652 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Nrm )
147, 13impbii 182 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1726   {crab 2711   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   ` cfv 5457   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Nrmcnrm 17379  KQckq 17730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-qtop 13738  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090  df-cn 17296  df-nrm 17386  df-kq 17731
  Copyright terms: Public domain W3C validator