MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrm Unicode version

Theorem kqnrm 17745
Description: The Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqnrm  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )

Proof of Theorem kqnrm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nrmtop 17362 . . . 4  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16961 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 189 . . 3  |-  ( J  e.  Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2412 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
65kqnrmlem1 17736 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  e.  Nrm )  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
74, 6mpancom 651 . 2  |-  ( J  e.  Nrm  ->  (KQ `  J )  e.  Nrm )
8 nrmtop 17362 . . . . 5  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
9 kqtop 17738 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
108, 9sylibr 204 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Top )
1110, 3sylib 189 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
125kqnrmlem2 17737 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (KQ `  J )  e.  Nrm )  ->  J  e.  Nrm )
1311, 12mpancom 651 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Nrm  ->  J  e.  Nrm )
147, 13impbii 181 1  |-  ( J  e.  Nrm  <->  (KQ `  J
)  e.  Nrm )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1721   {crab 2678   U.cuni 3983    e. cmpt 4234   ` cfv 5421   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   Nrmcnrm 17336  KQckq 17686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-map 6987  df-qtop 13696  df-top 16926  df-topon 16929  df-cld 17046  df-cls 17048  df-cn 17253  df-nrm 17343  df-kq 17687
  Copyright terms: Public domain W3C validator