Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqnrmlem1 Unicode version

Theorem kqnrmlem1 17434
 Description: A Kolmogorov quotient of a normal space is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
kqnrmlem1 TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem kqnrmlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5
21kqtopon 17418 . . . 4 TopOn KQ TopOn
32adantr 451 . . 3 TopOn KQ TopOn
4 topontop 16664 . . 3 KQ TopOn KQ
53, 4syl 15 . 2 TopOn KQ
6 simplr 731 . . . . 5 TopOn KQ KQ
71kqid 17419 . . . . . . 7 TopOn KQ
87ad2antrr 706 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
9 simprl 732 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
10 cnima 16994 . . . . . 6 KQ KQ
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . 5 TopOn KQ KQ
12 inss1 3389 . . . . . . 7 KQ KQ
13 simprr 733 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
1412, 13sseldi 3178 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
15 cnclima 16997 . . . . . 6 KQ KQ
168, 14, 15syl2anc 642 . . . . 5 TopOn KQ KQ
17 inss2 3390 . . . . . . 7 KQ
1817, 13sseldi 3178 . . . . . 6 TopOn KQ KQ
19 elpwi 3633 . . . . . 6
20 imass2 5049 . . . . . 6
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 TopOn KQ KQ
22 nrmsep3 17083 . . . . 5
236, 11, 16, 21, 22syl13anc 1184 . . . 4 TopOn KQ KQ
24 simplll 734 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ TopOn
25 simprl 732 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
261kqopn 17425 . . . . . . . 8 TopOn KQ
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
28 simprrl 740 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
291kqffn 17416 . . . . . . . . . 10 TopOn
30 fnfun 5341 . . . . . . . . . 10
3124, 29, 303syl 18 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
3214adantr 451 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ KQ
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ
3433cldss 16766 . . . . . . . . . . 11 KQ KQ
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ
36 toponuni 16665 . . . . . . . . . . 11 KQ TopOn KQ
3724, 2, 363syl 18 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ
3835, 37sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
39 funimass1 5325 . . . . . . . . 9
4031, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
4128, 40mpd 14 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ
42 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
4324, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
44 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . 12
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
4746clscld 16784 . . . . . . . . . . 11
4843, 45, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
491kqcld 17426 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ
5024, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ
5146sscls 16793 . . . . . . . . . . 11
5243, 45, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
53 imass2 5049 . . . . . . . . . 10
5452, 53syl 15 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
5533clsss2 16809 . . . . . . . . 9 KQ KQ
5650, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ
57 simprrr 741 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
5846clsss3 16796 . . . . . . . . . . . 12
5943, 45, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
60 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . 13
6124, 29, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12 TopOn KQ KQ
62 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6324, 62syl 15 . . . . . . . . . . . 12 TopOn KQ KQ
6461, 63eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ
6559, 64sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ
66 funimass3 5641 . . . . . . . . . 10
6731, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ
6857, 67mpbird 223 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ
6956, 68sstrd 3189 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
70 sseq2 3200 . . . . . . . . 9
71 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10 KQ KQ
7271sseq1d 3205 . . . . . . . . 9 KQ KQ
7370, 72anbi12d 691 . . . . . . . 8 KQ KQ
7473rspcev 2884 . . . . . . 7 KQ KQ KQ KQ
7527, 41, 69, 74syl12anc 1180 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ KQ
7675expr 598 . . . . 5 TopOn KQ KQ KQ KQ
7776rexlimdva 2667 . . . 4 TopOn KQ KQ KQ KQ
7823, 77mpd 14 . . 3 TopOn KQ KQ KQ KQ
7978ralrimivva 2635 . 2 TopOn KQ KQ KQ KQ
80 isnrm 17063 . 2 KQ KQ KQ KQ KQ KQ
815, 79, 80sylanbrc 645 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   cin 3151   wss 3152  cpw 3625  cuni 3827   cmpt 4077  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690  cima 4692   wfun 5249   wfn 5250  cfv 5255  (class class class)co 5858  ctop 16631  TopOnctopon 16632  ccld 16753  ccl 16755   ccn 16954  cnrm 17038  KQckq 17384 This theorem is referenced by:  kqnrm  17443 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-nrm 17045  df-kq 17385
 Copyright terms: Public domain W3C validator