Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqreg Structured version   Unicode version

Theorem kqreg 17783
 Description: The Kolmogorov quotient of a regular space is regular. By regr1 17782 it is also Hausdorff, so we can also say that a space is regular iff the Kolmogorov quotient is regular Hausdorff (T3). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqreg KQ

Proof of Theorem kqreg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 regtop 17397 . . . 4
2 eqid 2436 . . . . 5
32toptopon 16998 . . . 4 TopOn
41, 3sylib 189 . . 3 TopOn
5 eqid 2436 . . . 4
65kqreglem1 17773 . . 3 TopOn KQ
74, 6mpancom 651 . 2 KQ
8 regtop 17397 . . . . 5 KQ KQ
9 kqtop 17777 . . . . 5 KQ
108, 9sylibr 204 . . . 4 KQ
1110, 3sylib 189 . . 3 KQ TopOn
125kqreglem2 17774 . . 3 TopOn KQ
1311, 12mpancom 651 . 2 KQ
147, 13impbii 181 1 KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wcel 1725  crab 2709  cuni 4015   cmpt 4266  cfv 5454  ctop 16958  TopOnctopon 16959  creg 17373  KQckq 17725 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-qtop 13733  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cls 17085  df-cn 17291  df-reg 17380  df-kq 17726
 Copyright terms: Public domain W3C validator