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Theorem kqreglem1 17432
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem1
Dummy variables  m  w  z  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqtopon 17418 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
4 topontop 16664 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
6 toponss 16667 . . . . . . . 8  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
73, 6sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
87sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  ran  F )
91kqffn 17416 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
109ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  F  Fn  X )
11 fvelrnb 5570 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
138, 12mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b )
14 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  J  e.  Reg )
151kqid 17419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
1615ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
17 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
a  e.  (KQ `  J ) )
18 cnima 16994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
( `' F "
a )  e.  J
)
209adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
22 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " a )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  a ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( z  e.  ( `' F "
a )  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) ) )
2423biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
z  e.  ( `' F " a ) )
25 regsep 17062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' F " a )  e.  J  /\  z  e.  ( `' F "
a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
2614, 19, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
27 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
29 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  e.  J )
301kqopn 17425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  (KQ
`  J ) )
32 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  w )
33 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  X )
341kqfvima 17421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3528, 29, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3632, 35mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) )
37 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3828, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
39 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. J  =  U. J
4241clscld 16784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4338, 40, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  e.  (
Clsd `  J )
)
441kqcld 17426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  w )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
4528, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) ) )
4641sscls 16793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
4738, 40, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
48 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w 
C_  ( ( cls `  J ) `  w
)  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
5150clsss2 16809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) )  /\  ( F
" w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5245, 49, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5320ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
54 fnfun 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  Fun  F )
56 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' F " a ) )
57 funimass2 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5855, 56, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5952, 58sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a )
60 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
61 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  =  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) ) )
6261sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a  <->  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)
6360, 62anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " w
)  /\  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a ) ) )
6463rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F " w
)  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  z
)  e.  ( F
" w )  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6531, 36, 59, 64syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6665expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  w  e.  J )  ->  ( ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' F " a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
6766rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
( E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( `' F " a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
6826, 67mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6968expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
70 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  a  <->  b  e.  a ) )
71 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  b  e.  m ) )
7271anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7372rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7470, 73imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )  <->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7569, 74syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7675com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( b  e.  a  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7776imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  a )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7877an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  b  e.  a )  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7978rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
8013, 79mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
8180anasss 628 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
a  e.  (KQ `  J )  /\  b  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
8281ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
83 isreg 17060 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Reg 
<->  ( (KQ `  J
)  e.  Top  /\  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
845, 82, 83sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   clsccl 16755    Cn ccn 16954   Regcreg 17037  KQckq 17384
This theorem is referenced by:  kqreg  17442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-reg 17044  df-kq 17385
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