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Theorem kqreglem1 17765
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem1
Dummy variables  m  w  z  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqtopon 17751 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
4 topontop 16983 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
6 toponss 16986 . . . . . . . 8  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
73, 6sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
87sselda 3340 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  ran  F )
91kqffn 17749 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
109ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  F  Fn  X )
11 fvelrnb 5766 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
138, 12mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b )
14 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  J  e.  Reg )
151kqid 17752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
1615ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
17 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
a  e.  (KQ `  J ) )
18 cnima 17321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
1916, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
( `' F "
a )  e.  J
)
209adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
22 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " a )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  a ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( z  e.  ( `' F "
a )  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) ) )
2423biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
z  e.  ( `' F " a ) )
25 regsep 17390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' F " a )  e.  J  /\  z  e.  ( `' F "
a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
2614, 19, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
27 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  e.  J )
291kqopn 17758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
3027, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  (KQ
`  J ) )
31 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  w )
32 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  X )
331kqfvima 17754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3427, 28, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3531, 34mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) )
36 topontop 16983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3727, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
38 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
40 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
4140clscld 17103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 39, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  e.  (
Clsd `  J )
)
431kqcld 17759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  w )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
4427, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) ) )
4540sscls 17112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
4637, 39, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
47 imass2 5232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  ( ( cls `  J ) `  w
)  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
5049clsss2 17128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) )  /\  ( F
" w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5144, 48, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5220ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
53 fnfun 5534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  Fun  F )
55 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' F " a ) )
56 funimass2 5519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5754, 55, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5851, 57sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a )
59 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
60 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  =  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) ) )
6160sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a  <->  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)
6259, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " w
)  /\  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a ) ) )
6362rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F " w
)  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  z
)  e.  ( F
" w )  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6430, 35, 58, 63syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6526, 64rexlimddv 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6665expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
67 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  a  <->  b  e.  a ) )
68 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  b  e.  m ) )
6968anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7069rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7167, 70imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )  <->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7266, 71syl5ibcom 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7372com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( b  e.  a  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7473imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  a )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7574an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  b  e.  a )  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7675rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7713, 76mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
7877anasss 629 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
a  e.  (KQ `  J )  /\  b  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
7978ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
80 isreg 17388 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Reg 
<->  ( (KQ `  J
)  e.  Top  /\  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
815, 79, 80sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Clsdccld 17072   clsccl 17074    Cn ccn 17280   Regcreg 17365  KQckq 17717
This theorem is referenced by:  kqreg  17775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cls 17077  df-cn 17283  df-reg 17372  df-kq 17718
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