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Theorem kqreglem1 17778
Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem1
Dummy variables  m  w  z  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqtopon 17764 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
4 topontop 16996 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
6 toponss 16999 . . . . . . . 8  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
73, 6sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  a  C_  ran  F )
87sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  ran  F )
91kqffn 17762 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
109ad3antrrr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  F  Fn  X )
11 fvelrnb 5777 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( b  e.  ran  F  <->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b ) )
138, 12mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b )
14 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  J  e.  Reg )
151kqid 17765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
1615ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
17 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
a  e.  (KQ `  J ) )
18 cnima 17334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
1916, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
( `' F "
a )  e.  J
)
209adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  F  Fn  X )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
22 elpreima 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " a )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  a ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( z  e.  ( `' F "
a )  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) ) )
2423biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  -> 
z  e.  ( `' F " a ) )
25 regsep 17403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( `' F " a )  e.  J  /\  z  e.  ( `' F "
a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
2614, 19, 24, 25syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) )
27 simp-4l 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  e.  J )
291kqopn 17771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
3027, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  e.  (KQ
`  J ) )
31 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  w )
32 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  z  e.  X )
331kqfvima 17767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3427, 28, 32, 33syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( z  e.  w  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
3531, 34mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) )
36 topontop 16996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3727, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
38 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
3938ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  U. J
)
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. J  =  U. J
4140clscld 17116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  w
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 39, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  e.  (
Clsd `  J )
)
431kqcld 17772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  w )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
4427, 42, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) ) )
4540sscls 17125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  w  C_  U. J )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
4637, 39, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  w  C_  (
( cls `  J
) `  w )
)
47 imass2 5243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  ( ( cls `  J ) `  w
)  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `  w
) ) )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
5049clsss2 17141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  e.  ( Clsd `  (KQ `  J ) )  /\  ( F
" w )  C_  ( F " ( ( cls `  J ) `
 w ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5144, 48, 50syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  ( F "
( ( cls `  J
) `  w )
) )
5220ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  F  Fn  X )
53 fnfun 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  Fun  F )
55 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( `' F " a ) )
56 funimass2 5530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) )  -> 
( F " (
( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5754, 55, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( F " ( ( cls `  J
) `  w )
)  C_  a )
5851, 57sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a )
59 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  ( F `  z )  e.  ( F " w ) ) )
60 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  =  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) ) )
6160sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a  <->  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)
6259, 61anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " w
)  /\  ( ( cls `  (KQ `  J
) ) `  ( F " w ) ) 
C_  a ) ) )
6362rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F " w
)  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  z
)  e.  ( F
" w )  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  ( F " w ) )  C_  a )
)  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6430, 35, 58, 63syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  a ) )  /\  ( w  e.  J  /\  ( z  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( `' F "
a ) ) ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6526, 64rexlimddv 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  ( z  e.  X  /\  ( F `
 z )  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
6665expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
67 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  a  <->  b  e.  a ) )
68 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( F `  z
)  e.  m  <->  b  e.  m ) )
6968anbi1d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7069rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( E. m  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
)  <->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7167, 70imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  z )  =  b  ->  (
( ( F `  z )  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )  <->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7266, 71syl5ibcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  ( b  e.  a  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7372com23 75 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( b  e.  a  ->  ( ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) ) )
7473imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  z  e.  X )  /\  b  e.  a )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7574an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ `  J ) )  /\  b  e.  a )  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7675rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  b  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
7713, 76mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  a  e.  (KQ
`  J ) )  /\  b  e.  a )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
7877anasss 630 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
a  e.  (KQ `  J )  /\  b  e.  a ) )  ->  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
7978ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ
`  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) )
80 isreg 17401 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Reg 
<->  ( (KQ `  J
)  e.  Top  /\  A. a  e.  (KQ `  J ) A. b  e.  a  E. m  e.  (KQ `  J ) ( b  e.  m  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  m )  C_  a
) ) )
815, 79, 80sylanbrc 647 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  (KQ `  J )  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Clsdccld 17085   clsccl 17087    Cn ccn 17293   Regcreg 17378  KQckq 17730
This theorem is referenced by:  kqreg  17788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-qtop 13738  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cls 17090  df-cn 17296  df-reg 17385  df-kq 17731
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