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Theorem kqreglem2 17766
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Reg )
4 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
6 kqval.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
76kqopn 17758 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
84, 5, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
9 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  z )
10 toponss 16986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
114, 5, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
1211, 9sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  X )
136kqfvima 17754 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  z  <->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( w  e.  z  <-> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) ) )
159, 14mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) )
16 regsep 17390 . . . . 5  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Reg  /\  ( F " z )  e.  (KQ `  J )  /\  ( F `  w )  e.  ( F " z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
173, 8, 15, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
184adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
196kqid 17752 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
21 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  e.  (KQ `  J ) )
22 cnima 17321 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  n  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2320, 21, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2412adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  X )
25 simprrl 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( F `  w )  e.  n )
266kqffn 17749 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
27 elpreima 5842 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2818, 26, 273syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2924, 25, 28mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  ( `' F "
n ) )
306kqtopon 17751 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
31 topontop 16983 . . . . . . . . . 10  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
3218, 30, 313syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
33 elssuni 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  (KQ `  J
)  ->  n  C_  U. (KQ `  J ) )
3433ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )
35 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
3635clscld 17103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
3732, 34, 36syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
38 cnclima 17324 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
3920, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4035sscls 17112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
4132, 34, 40syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
42 imass2 5232 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  ->  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
44 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
4544clsss2 17128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4639, 43, 45syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
47 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )
48 imass2 5232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
505adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  z  e.  J )
516kqsat 17755 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5218, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5349, 52sseqtrd 3376 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  z )
5446, 53sstrd 3350 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z )
55 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
w  e.  m  <->  w  e.  ( `' F " n ) ) )
56 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( cls `  J
) `  m )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) ) )
5756sseq1d 3367 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( ( cls `  J
) `  m )  C_  z  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)
5855, 57anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z )  <->  ( w  e.  ( `' F "
n )  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z ) ) )
5958rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
n )  e.  J  /\  ( w  e.  ( `' F " n )  /\  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6023, 29, 54, 59syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6117, 60rexlimddv 2826 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6261ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
63 isreg 17388 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
642, 62, 63sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Clsdccld 17072   clsccl 17074    Cn ccn 17280   Regcreg 17365  KQckq 17717
This theorem is referenced by:  kqreg  17775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-qtop 13725  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cls 17077  df-cn 17283  df-reg 17372  df-kq 17718
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