Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqreglem2 Unicode version

Theorem kqreglem2 17433
 Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
kqreglem2 TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . 3 TopOn
21adantr 451 . 2 TopOn KQ
3 simplr 731 . . . . 5 TopOn KQ KQ
4 simpll 730 . . . . . 6 TopOn KQ TopOn
5 simprl 732 . . . . . 6 TopOn KQ
6 kqval.2 . . . . . . 7
76kqopn 17425 . . . . . 6 TopOn KQ
84, 5, 7syl2anc 642 . . . . 5 TopOn KQ KQ
9 simprr 733 . . . . . 6 TopOn KQ
10 toponss 16667 . . . . . . . . 9 TopOn
114, 5, 10syl2anc 642 . . . . . . . 8 TopOn KQ
1211, 9sseldd 3181 . . . . . . 7 TopOn KQ
136kqfvima 17421 . . . . . . 7 TopOn
144, 5, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . 6 TopOn KQ
159, 14mpbid 201 . . . . 5 TopOn KQ
16 regsep 17062 . . . . 5 KQ KQ KQ KQ
173, 8, 15, 16syl3anc 1182 . . . 4 TopOn KQ KQ KQ
184adantr 451 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ TopOn
196kqid 17419 . . . . . . . . 9 TopOn KQ
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ KQ
21 simprl 732 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ KQ
22 cnima 16994 . . . . . . . 8 KQ KQ
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
2412adantr 451 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ
25 simprrl 740 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ
266kqffn 17416 . . . . . . . . 9 TopOn
27 elpreima 5645 . . . . . . . . 9
2818, 26, 273syl 18 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ
2924, 25, 28mpbir2and 888 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
306kqtopon 17418 . . . . . . . . . . . 12 TopOn KQ TopOn
31 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12 KQ TopOn KQ
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ KQ KQ
33 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11 TopOn KQ KQ KQ KQ
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12 KQ KQ
3635clscld 16784 . . . . . . . . . . 11 KQ KQ KQ KQ
3732, 34, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ KQ
38 cnclima 16997 . . . . . . . . . 10 KQ KQ KQ KQ
3920, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ KQ
4035sscls 16793 . . . . . . . . . . 11 KQ KQ KQ
4132, 34, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ
42 imass2 5049 . . . . . . . . . 10 KQ KQ
4341, 42syl 15 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ KQ
44 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
4544clsss2 16809 . . . . . . . . 9 KQ KQ KQ
4639, 43, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ KQ
47 simprrr 741 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ KQ
48 imass2 5049 . . . . . . . . . 10 KQ KQ
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ KQ
505adantr 451 . . . . . . . . . 10 TopOn KQ KQ KQ
516kqsat 17422 . . . . . . . . . 10 TopOn
5218, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . 9 TopOn KQ KQ KQ
5349, 52sseqtrd 3214 . . . . . . . 8 TopOn KQ KQ KQ KQ
5446, 53sstrd 3189 . . . . . . 7 TopOn KQ KQ KQ
55 eleq2 2344 . . . . . . . . 9
56 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
5756sseq1d 3205 . . . . . . . . 9
5855, 57anbi12d 691 . . . . . . . 8
5958rspcev 2884 . . . . . . 7
6023, 29, 54, 59syl12anc 1180 . . . . . 6 TopOn KQ KQ KQ
6160expr 598 . . . . 5 TopOn KQ KQ KQ
6261rexlimdva 2667 . . . 4 TopOn KQ KQ KQ
6317, 62mpd 14 . . 3 TopOn KQ
6463ralrimivva 2635 . 2 TopOn KQ
65 isreg 17060 . 2
662, 64, 65sylanbrc 645 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   wss 3152  cuni 3827   cmpt 4077  ccnv 4688   crn 4690  cima 4692   wfn 5250  cfv 5255  (class class class)co 5858  ctop 16631  TopOnctopon 16632  ccld 16753  ccl 16755   ccn 16954  creg 17037  KQckq 17384 This theorem is referenced by:  kqreg  17442 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-reg 17044  df-kq 17385
 Copyright terms: Public domain W3C validator