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Theorem kqreglem2 17433
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Reg )
4 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
5 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
6 kqval.2 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
76kqopn 17425 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( F " z )  e.  (KQ `  J ) )
84, 5, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F " z
)  e.  (KQ `  J ) )
9 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  z )
10 toponss 16667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
114, 5, 10syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
1211, 9sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  w  e.  X )
136kqfvima 17421 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  z  <->  ( F `  w )  e.  ( F " z ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( w  e.  z  <-> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) ) )
159, 14mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" z ) )
16 regsep 17062 . . . . 5  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Reg  /\  ( F " z )  e.  (KQ `  J )  /\  ( F `  w )  e.  ( F " z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
173, 8, 15, 16syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) )
184adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
196kqid 17419 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
21 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  e.  (KQ `  J ) )
22 cnima 16994 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  n  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n )  e.  J )
2412adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  X )
25 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( F `  w )  e.  n )
266kqffn 17416 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
27 elpreima 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  X  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2818, 26, 273syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
w  e.  ( `' F " n )  <-> 
( w  e.  X  /\  ( F `  w
)  e.  n ) ) )
2924, 25, 28mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  w  e.  ( `' F "
n ) )
306kqtopon 17418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
31 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
33 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  (KQ `  J
)  ->  n  C_  U. (KQ `  J ) )
3433ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
3635clscld 16784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
3732, 34, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )
38 cnclima 16997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  e.  (
Clsd `  (KQ `  J
) ) )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
3920, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4035sscls 16793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Top  /\  n  C_ 
U. (KQ `  J
) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
4132, 34, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  n  C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )
42 imass2 5049 . . . . . . . . . 10  |-  ( n 
C_  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  ->  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " n ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
44 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
4544clsss2 16809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  ( `' F " n )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
4639, 43, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) ) )
47 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )
48 imass2 5049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z )  -> 
( `' F "
( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  ( `' F " ( F
" z ) ) )
505adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  z  e.  J )
516kqsat 17422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5218, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( F
" z ) )  =  z )
5349, 52sseqtrd 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n ) )  C_  z )
5446, 53sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z )
55 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
w  e.  m  <->  w  e.  ( `' F " n ) ) )
56 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( cls `  J
) `  m )  =  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) ) )
5756sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( ( cls `  J
) `  m )  C_  z  <->  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)
5855, 57anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( `' F " n )  ->  (
( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z )  <->  ( w  e.  ( `' F "
n )  /\  (
( cls `  J
) `  ( `' F " n ) ) 
C_  z ) ) )
5958rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
n )  e.  J  /\  ( w  e.  ( `' F " n )  /\  ( ( cls `  J ) `  ( `' F " n ) )  C_  z )
)  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6023, 29, 54, 59syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  (
n  e.  (KQ `  J )  /\  (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) ) ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6160expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z
) )  /\  n  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( (
( F `  w
)  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
6261rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  -> 
( E. n  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  w )  e.  n  /\  ( ( cls `  (KQ `  J ) ) `  n )  C_  ( F " z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
6317, 62mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  /\  ( z  e.  J  /\  w  e.  z ) )  ->  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
6463ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  ( ( cls `  J
) `  m )  C_  z ) )
65 isreg 17060 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. z  e.  J  A. w  e.  z  E. m  e.  J  ( w  e.  m  /\  (
( cls `  J
) `  m )  C_  z ) ) )
662, 64, 65sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Reg )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   clsccl 16755    Cn ccn 16954   Regcreg 17037  KQckq 17384
This theorem is referenced by:  kqreg  17442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-cn 16957  df-reg 17044  df-kq 17385
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