Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqsat Unicode version

Theorem kqsat 17422
 Description: Any open set is saturated with respect to the topological indistinguishability map (in the terminology of qtoprest 17408). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
kqsat TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem kqsat
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . 7
21kqffn 17416 . . . . . 6 TopOn
3 elpreima 5645 . . . . . 6
42, 3syl 15 . . . . 5 TopOn
54adantr 451 . . . 4 TopOn
61kqfvima 17421 . . . . . . 7 TopOn
763expa 1151 . . . . . 6 TopOn
87biimprd 214 . . . . 5 TopOn
98expimpd 586 . . . 4 TopOn
105, 9sylbid 206 . . 3 TopOn
1110ssrdv 3185 . 2 TopOn
12 dminss 5095 . . 3
13 toponss 16667 . . . . . 6 TopOn
14 fndm 5343 . . . . . . . 8
152, 14syl 15 . . . . . . 7 TopOn
1615adantr 451 . . . . . 6 TopOn
1713, 16sseqtr4d 3215 . . . . 5 TopOn
18 dfss1 3373 . . . . 5
1917, 18sylib 188 . . . 4 TopOn
2019sseq1d 3205 . . 3 TopOn
2112, 20mpbii 202 . 2 TopOn
2211, 21eqssd 3196 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  crab 2547   cin 3151   wss 3152   cmpt 4077  ccnv 4688   cdm 4689  cima 4692   wfn 5250  cfv 5255  TopOnctopon 16632 This theorem is referenced by:  kqopn  17425  kqreglem2  17433  kqnrmlem2  17435 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-topon 16639
 Copyright terms: Public domain W3C validator