MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqt0 Unicode version

Theorem kqt0 17437
Description: The Kolmogorov quotient is T0 even if the original topology is not. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqt0  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )

Proof of Theorem kqt0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
21toptopon 16671 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
43kqt0lem 17427 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (KQ `  J )  e.  Kol2 )
52, 4sylbi 187 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  Kol2 )
6 t0top 17057 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Kol2  ->  (KQ `  J
)  e.  Top )
7 kqtop 17436 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
86, 7sylibr 203 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Kol2  ->  J  e.  Top )
95, 8impbii 180 1  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1684   {crab 2547   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Kol2ct0 17034  KQckq 17384
This theorem is referenced by:  kqf  17438  kqhmph  17510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-t0 17041  df-kq 17385
  Copyright terms: Public domain W3C validator