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Theorem kqt0lem 17770
Description: Lemma for kqt0 17780. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqt0lem  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqt0lem
Dummy variables  w  z  a  b  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqopn 17768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
32adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
4 eleq2 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
5 eleq2 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  b
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
64, 5bibi12d 314 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  ( F " w )  <-> 
( F `  b
)  e.  ( F
" w ) ) ) )
76rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " w )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
83, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
91kqfvima 17764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  a  e.  X )  ->  (
a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
1093expa 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  a  e.  X )  ->  (
a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
1110adantrr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
121kqfvima 17764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  b  e.  X )  ->  (
b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
13123expa 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  b  e.  X )  ->  (
b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
1413adantrl 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
1511, 14bibi12d 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
a  e.  w  <->  b  e.  w )  <->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
1615an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( a  e.  w  <->  b  e.  w )  <->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
178, 16sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
1817ralrimdva 2798 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
191kqfeq 17758 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  A. y  e.  J  ( a  e.  y  <->  b  e.  y ) ) )
20193expb 1155 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <->  A. y  e.  J  ( a  e.  y  <->  b  e.  y ) ) )
21 elequ2 1731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
a  e.  y  <->  a  e.  w ) )
22 elequ2 1731 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
b  e.  y  <->  b  e.  w ) )
2321, 22bibi12d 314 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
( a  e.  y  <-> 
b  e.  y )  <-> 
( a  e.  w  <->  b  e.  w ) ) )
2423cbvralv 2934 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  J  (
a  e.  y  <->  b  e.  y )  <->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) )
2520, 24syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
2618, 25sylibrd 227 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
2726ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
281kqffn 17759 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
29 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
u  e.  z  <->  ( F `  a )  e.  z ) )
3029bibi1d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z ) ) )
3130ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  <->  A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z ) ) )
32 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
u  =  v  <->  ( F `  a )  =  v ) )
3331, 32imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
3433ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
3534ralrn 5875 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
36 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
v  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z ) )
3736bibi2d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z ) ) )
3837ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  v  e.  z )  <->  A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z ) ) )
39 eqeq2 2447 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  v  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
4038, 39imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4140ralrn 5875 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4241ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  X  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4335, 42bitrd 246 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4428, 43syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4527, 44mpbird 225 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
461kqtopon 17761 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
47 ist0-2 17410 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  <->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) ) )
4846, 47syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  <->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) ) )
4945, 48mpbird 225 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    e. cmpt 4268   ran crn 4881   "cima 4883    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  TopOnctopon 16961   Kol2ct0 17372  KQckq 17727
This theorem is referenced by:  kqt0  17780  t0kq  17852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-qtop 13735  df-top 16965  df-topon 16968  df-t0 17379  df-kq 17728
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