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Theorem kqt0lem 17443
Description: Lemma for kqt0 17453. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqt0lem  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqt0lem
Dummy variables  w  z  a  b  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqopn 17441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
32adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( F " w )  e.  (KQ `  J ) )
4 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
5 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( F `  b
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
64, 5bibi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  ( F " w )  <-> 
( F `  b
)  e.  ( F
" w ) ) ) )
76rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " w )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
83, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
91kqfvima 17437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  a  e.  X )  ->  (
a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
1093expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  a  e.  X )  ->  (
a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
1110adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( a  e.  w  <->  ( F `  a )  e.  ( F " w ) ) )
121kqfvima 17437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J  /\  b  e.  X )  ->  (
b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
13123expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  b  e.  X )  ->  (
b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
1413adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( b  e.  w  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) )
1511, 14bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  J )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
a  e.  w  <->  b  e.  w )  <->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
1615an32s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( a  e.  w  <->  b  e.  w )  <->  ( ( F `  a )  e.  ( F " w
)  <->  ( F `  b )  e.  ( F " w ) ) ) )
178, 16sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  w  e.  J )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
1817ralrimdva 2646 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
191kqfeq 17431 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  <->  A. y  e.  J  ( a  e.  y  <->  b  e.  y ) ) )
20193expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <->  A. y  e.  J  ( a  e.  y  <->  b  e.  y ) ) )
21 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
a  e.  y  <->  a  e.  w ) )
22 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
b  e.  y  <->  b  e.  w ) )
2321, 22bibi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
( a  e.  y  <-> 
b  e.  y )  <-> 
( a  e.  w  <->  b  e.  w ) ) )
2423cbvralv 2777 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  J  (
a  e.  y  <->  b  e.  y )  <->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) )
2520, 24syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <->  A. w  e.  J  ( a  e.  w  <->  b  e.  w
) ) )
2618, 25sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
2726ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
281kqffn 17432 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
29 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
u  e.  z  <->  ( F `  a )  e.  z ) )
3029bibi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z ) ) )
3130ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  <->  A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z ) ) )
32 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
u  =  v  <->  ( F `  a )  =  v ) )
3331, 32imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  (
( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
3433ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  a )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
3534ralrn 5684 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v ) ) )
36 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
v  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z ) )
3736bibi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  <-> 
( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z ) ) )
3837ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <->  v  e.  z )  <->  A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z ) ) )
39 eqeq2 2305 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  =  v  <->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) )
4038, 39imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( F `  b )  ->  (
( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
( F `  b
)  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4140ralrn 5684 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4241ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  X  A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  a )  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4335, 42bitrd 244 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J ) ( u  e.  z  <-> 
v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  a
)  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4428, 43syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 a )  e.  z  <->  ( F `  b )  e.  z )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) ) ) )
4527, 44mpbird 223 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ `  J
) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) )
461kqtopon 17434 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
47 ist0-2 17088 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  <->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) ) )
4846, 47syl 15 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  <->  A. u  e.  ran  F A. v  e.  ran  F ( A. z  e.  (KQ
`  J ) ( u  e.  z  <->  v  e.  z )  ->  u  =  v ) ) )
4945, 48mpbird 223 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    e. cmpt 4093   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  TopOnctopon 16648   Kol2ct0 17050  KQckq 17400
This theorem is referenced by:  kqt0  17453  t0kq  17525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-qtop 13426  df-top 16652  df-topon 16655  df-t0 17057  df-kq 17401
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