MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqtop Unicode version

Theorem kqtop 17452
Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqtop  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )

Proof of Theorem kqtop
Dummy variables  x  y  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21toptopon 16687 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
)
43kqtopon 17434 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
52, 4sylbi 187 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
6 topontop 16680 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y }
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  e.  Top )
8 0opn 16666 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  (/)  e.  (KQ `  J ) )
9 elfvdm 5570 . . . 4  |-  ( (/)  e.  (KQ `  J )  ->  J  e.  dom KQ )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  J  e.  dom KQ )
11 ovex 5899 . . . 4  |-  ( j qTop  ( x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
12 df-kq 17401 . . . 4  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
1311, 12dmmpti 5389 . . 3  |-  dom KQ  =  Top
1410, 13syl6eleq 2386 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  e. 
Top  ->  J  e.  Top )
157, 14impbii 180 1  |-  ( J  e.  Top  <->  (KQ `  J
)  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1696   {crab 2560   (/)c0 3468   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   qTop cqtop 13422   Topctop 16647  TopOnctopon 16648  KQckq 17400
This theorem is referenced by:  kqt0  17453  kqreg  17458  kqnrm  17459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-qtop 13426  df-top 16652  df-topon 16655  df-kq 17401
  Copyright terms: Public domain W3C validator