MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqval Unicode version

Theorem kqval 17711
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqval  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqval
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16946 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 id 20 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  j  =  J )
3 unieq 3984 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
4 rabeq 2910 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  { y  e.  j  |  x  e.  y }  =  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
53, 4mpteq12dv 4247 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
62, 5oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
7 df-kq 17679 . . . 4  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
8 ovex 6065 . . . 4  |-  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5765 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
101, 9syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
11 kqval.2 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
12 toponuni 16947 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1312mpteq1d 4250 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  =  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1411, 13syl5eq 2448 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1514oveq2d 6056 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
1610, 15eqtr4d 2439 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   qTop cqtop 13684   Topctop 16913  TopOnctopon 16914  KQckq 17678
This theorem is referenced by:  kqtopon  17712  kqid  17713  kqopn  17719  kqcld  17720  t0kq  17803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-topon 16921  df-kq 17679
  Copyright terms: Public domain W3C validator