MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqval Unicode version

Theorem kqval 17634
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqval  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqval
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16881 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 id 19 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  j  =  J )
3 unieq 3938 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
4 rabeq 2867 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  { y  e.  j  |  x  e.  y }  =  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
53, 4mpteq12dv 4200 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
62, 5oveq12d 5999 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
7 df-kq 17602 . . . 4  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
8 ovex 6006 . . . 4  |-  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5709 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
101, 9syl 15 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
11 kqval.2 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
12 toponuni 16882 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
13 mpteq1 4202 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  =  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1511, 14syl5eq 2410 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1615oveq2d 5997 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
1710, 16eqtr4d 2401 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   {crab 2632   U.cuni 3929    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   qTop cqtop 13616   Topctop 16848  TopOnctopon 16849  KQckq 17601
This theorem is referenced by:  kqtopon  17635  kqid  17636  kqopn  17642  kqcld  17643  t0kq  17726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-ov 5984  df-topon 16856  df-kq 17602
  Copyright terms: Public domain W3C validator