MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqval Structured version   Unicode version

Theorem kqval 17763
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
kqval  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem kqval
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16996 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 id 21 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  j  =  J )
3 unieq 4026 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
4 rabeq 2952 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  { y  e.  j  |  x  e.  y }  =  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
53, 4mpteq12dv 4290 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
x  e.  U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } )  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
62, 5oveq12d 6102 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) )  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
7 df-kq 17731 . . . 4  |- KQ  =  ( j  e.  Top  |->  ( j qTop  ( x  e. 
U. j  |->  { y  e.  j  |  x  e.  y } ) ) )
8 ovex 6109 . . . 4  |-  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5809 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
101, 9syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
11 kqval.2 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
12 toponuni 16997 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1312mpteq1d 4293 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )  =  ( x  e. 
U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1411, 13syl5eq 2482 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  =  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) )
1514oveq2d 6100 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J qTop  F )  =  ( J qTop  ( x  e.  U. J  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } ) ) )
1610, 15eqtr4d 2473 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   qTop cqtop 13734   Topctop 16963  TopOnctopon 16964  KQckq 17730
This theorem is referenced by:  kqtopon  17764  kqid  17765  kqopn  17771  kqcld  17772  t0kq  17855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-topon 16971  df-kq 17731
  Copyright terms: Public domain W3C validator