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Theorem kur14 23762
Description: Kuratowski's closure-complement theorem. There are at most 14 sets which can be obtained by the application of the closure and complement operations to a set in a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14.x  |-  X  = 
U. J
kur14.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y    x, X
Allowed substitution hints:    S( x, y)    K( x, y)    X( y)

Proof of Theorem kur14
StepHypRef Expression
1 kur14.s . . . . . 6  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( A  e.  x  <->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x
) )
32anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) ) )
43rabbidv 2793 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
54inteqd 3883 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
61, 5syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  S  =  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
76eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( S  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin )
)
86fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } ) )
98breq1d 4049 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( # `  S )  <_ ; 1 4  <->  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
107, 9anbi12d 691 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
11 kur14.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
12 unieq 3852 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  U. J  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1311, 12syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  X  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1413pweqd 3643 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P X  =  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
1514pweqd 3643 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P ~P X  =  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1613sseq2d 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
17 sn0top 16752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  Top
1817elimel 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top
19 uniexg 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top  ->  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  e. 
_V )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  _V
2120elpw2 4191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  <->  A  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
2216, 21syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2322ifbid 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  =  if ( A  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) ) )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  <->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x ) )
2513difeq1d 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( X  \  y
)  =  ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \  y ) )
26 kur14.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( cls `  J
)
27 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( cls `  J
)  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2826, 27syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  K  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2928fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( K `  y
)  =  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y ) )
3025, 29preq12d 3727 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  =  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) } )
3130sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3231ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A. y  e.  x  { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3324, 32anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  <->  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) ) )
3415, 33rabeqbidv 2796 . . . . . 6  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  {
x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3534inteqd 3883 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3635eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin ) )
3735fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  =  (
# `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } ) )
3837breq1d 4049 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4  <-> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
3936, 38anbi12d 691 . . 3  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
40 eqid 2296 . . . 4  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
41 eqid 2296 . . . 4  |-  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )  =  ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
42 eqid 2296 . . . 4  |-  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }
43 0elpw 4196 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )
4443elimel 3630 . . . . 5  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
45 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
4644, 45ax-mp 8 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
4718, 40, 41, 42, 46kur14lem10 23761 . . 3  |-  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 )
4810, 39, 47dedth2h 3620 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  ( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
4948ancoms 439 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   U.cuni 3843   |^|cint 3878   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Fincfn 6879   1c1 8754    <_ cle 8884   4c4 9813  ;cdc 10140   #chash 11353   Topctop 16647   clsccl 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
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