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Theorem kur14 23747
Description: Kuratowski's closure-complement theorem. There are at most 14 sets which can be obtained by the application of the closure and complement operations to a set in a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14.x  |-  X  = 
U. J
kur14.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y    x, X
Allowed substitution hints:    S( x, y)    K( x, y)    X( y)

Proof of Theorem kur14
StepHypRef Expression
1 kur14.s . . . . . 6  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( A  e.  x  <->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x
) )
32anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) ) )
43rabbidv 2780 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
54inteqd 3867 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
61, 5syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  S  =  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
76eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( S  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin )
)
86fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } ) )
98breq1d 4033 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( # `  S )  <_ ; 1 4  <->  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
107, 9anbi12d 691 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
11 kur14.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
12 unieq 3836 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  U. J  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1311, 12syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  X  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1413pweqd 3630 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P X  =  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
1514pweqd 3630 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P ~P X  =  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1613sseq2d 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
17 sn0top 16736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  Top
1817elimel 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top
19 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top  ->  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  e. 
_V )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  _V
2120elpw2 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  <->  A  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
2216, 21syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2322ifbid 3583 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  =  if ( A  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  <->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x ) )
2513difeq1d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( X  \  y
)  =  ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \  y ) )
26 kur14.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( cls `  J
)
27 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( cls `  J
)  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2826, 27syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  K  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2928fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( K `  y
)  =  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y ) )
3025, 29preq12d 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  =  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) } )
3130sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3231ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A. y  e.  x  { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3324, 32anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  <->  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) ) )
3415, 33rabeqbidv 2783 . . . . . 6  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  {
x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3534inteqd 3867 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3635eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin ) )
3735fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  =  (
# `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } ) )
3837breq1d 4033 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4  <-> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
3936, 38anbi12d 691 . . 3  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
40 eqid 2283 . . . 4  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
41 eqid 2283 . . . 4  |-  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )  =  ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
42 eqid 2283 . . . 4  |-  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }
43 0elpw 4180 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )
4443elimel 3617 . . . . 5  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
45 elpwi 3633 . . . . 5  |-  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
4644, 45ax-mp 8 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
4718, 40, 41, 42, 46kur14lem10 23746 . . 3  |-  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 )
4810, 39, 47dedth2h 3607 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  ( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
4948ancoms 439 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Fincfn 6863   1c1 8738    <_ cle 8868   4c4 9797  ;cdc 10124   #chash 11337   Topctop 16631   clsccl 16755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
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