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Theorem kur14 24904
Description: Kuratowski's closure-complement theorem. There are at most 14 sets which can be obtained by the application of the closure and complement operations to a set in a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14.x  |-  X  = 
U. J
kur14.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y    x, X
Allowed substitution hints:    S( x, y)    K( x, y)    X( y)

Proof of Theorem kur14
StepHypRef Expression
1 kur14.s . . . . . 6  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( A  e.  x  <->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x
) )
32anbi1d 687 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) ) )
43rabbidv 2950 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
54inteqd 4057 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
61, 5syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  S  =  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )
76eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( S  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin )
)
86fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  ( # `
 S )  =  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } ) )
98breq1d 4224 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( # `  S )  <_ ; 1 4  <->  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
107, 9anbi12d 693 . . 3  |-  ( A  =  if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  ->  (
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
11 kur14.x . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
12 unieq 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  U. J  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1311, 12syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  X  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1413pweqd 3806 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P X  =  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
1514pweqd 3806 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  ~P ~P X  =  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
1613sseq2d 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A 
C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
17 sn0top 17065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  Top
1817elimel 3793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top
19 uniexg 4708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  Top  ->  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  e. 
_V )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  e.  _V
2120elpw2 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  <->  A  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
2216, 21syl6bbr 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A  C_  X  <->  A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2322ifbid 3759 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  =  if ( A  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) ) )
2423eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  <->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x ) )
2513difeq1d 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( X  \  y
)  =  ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \  y ) )
26 kur14.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( cls `  J
)
27 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( cls `  J
)  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2826, 27syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  K  =  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ) )
2928fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( K `  y
)  =  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y ) )
3025, 29preq12d 3893 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  =  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) } )
3130sseq1d 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  { ( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3231ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( A. y  e.  x  { ( X 
\  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x  <->  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) )
3324, 32anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  <->  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) ) )
3415, 33rabeqbidv 2953 . . . . . 6  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  {
x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3534inteqd 4057 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )
3635eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  <->  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin ) )
3735fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  =  (
# `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } ) )
3837breq1d 4224 . . . 4  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( if ( A  C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4  <-> 
( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) )
3936, 38anbi12d 693 . . 3  |-  ( J  =  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  -> 
( ( |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( if ( A 
C_  X ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } )  <_ ; 1 4 )  <->  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 ) ) )
40 eqid 2438 . . . 4  |-  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  =  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
41 eqid 2438 . . . 4  |-  ( cls `  if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )  =  ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) )
42 eqid 2438 . . . 4  |-  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  \ 
y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  =  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }
43 0elpw 4371 . . . . . 6  |-  (/)  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )
4443elimel 3793 . . . . 5  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
45 elpwi 3809 . . . . 5  |-  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e. 
~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )  ->  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } ) )
4644, 45ax-mp 8 . . . 4  |-  if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  C_  U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } )
4718, 40, 41, 42, 46kur14lem10 24903 . . 3  |-  ( |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) }  e.  Fin  /\  ( # `  |^| { x  e.  ~P ~P U. if ( J  e. 
Top ,  J ,  { (/) } )  |  ( if ( A  e.  ~P U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ,  A ,  (/) )  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( U. if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) 
\  y ) ,  ( ( cls `  if ( J  e.  Top ,  J ,  { (/) } ) ) `  y
) }  C_  x
) } )  <_ ; 1 4 )
4810, 39, 47dedth2h 3783 . 2  |-  ( ( A  C_  X  /\  J  e.  Top )  ->  ( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
4948ancoms 441 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( S  e.  Fin  /\  ( # `  S
)  <_ ; 1 4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   U.cuni 4017   |^|cint 4052   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   Fincfn 7111   1c1 8993    <_ cle 9123   4c4 10053  ;cdc 10384   #chash 11620   Topctop 16960   clsccl 17084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-hash 11621  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087
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