Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem8 Unicode version

Theorem kur14lem8 23759
Description: Lemma for kur14 23762. Show that the set  T contains at most  1
4 elements. (It could be less if some of the operators take the same value for a given set, but Kuratowski showed that this upper bound of  1 4 is tight in the sense that there exist topological spaces and subsets of these spaces for which all  1 4 generated sets are distinct, and indeed the real numbers form such a topological space.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
kur14lem8  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )

Proof of Theorem kur14lem8
StepHypRef Expression
1 kur14lem.t . 2  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  =  ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  =  ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )
4 hashtplei 11396 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) } )  <_  3
)
5 hashtplei 11396 . . . 4  |-  ( { B ,  C , 
( I `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  <_ 
3 )
6 3nn0 9999 . . . 4  |-  3  e.  NN0
7 3p3e6 9872 . . . 4  |-  ( 3  +  3 )  =  6
83, 4, 5, 6, 6, 7hashunlei 11393 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  e. 
Fin  /\  ( # `  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } ) )  <_  6 )
9 hashtplei 11396 . . 3  |-  ( { ( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) } )  <_ 
3 )
10 6nn0 10002 . . 3  |-  6  e.  NN0
11 6p3e9 9881 . . 3  |-  ( 6  +  3 )  =  9
122, 8, 9, 10, 6, 11hashunlei 11393 . 2  |-  ( ( ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )  u.  { ( K `
 B ) ,  D ,  ( K `
 ( I `  A ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) )  <_  9 )
13 eqid 2296 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  =  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )
14 hashtplei 11396 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) } )  <_ 
3 )
15 hashprlei 11395 . . 3  |-  ( { ( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 { ( K `
 ( I `  C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `  A ) ) ) } )  <_  2
)
16 2nn0 9998 . . 3  |-  2  e.  NN0
17 3p2e5 9871 . . 3  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1813, 14, 15, 6, 16, 17hashunlei 11393 . 2  |-  ( ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `  B ) ) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } ) )  <_  5
)
19 9nn0 10005 . 2  |-  9  e.  NN0
20 5nn0 10001 . 2  |-  5  e.  NN0
21 9p5e14 10205 . 2  |-  ( 9  +  5 )  = ; 1
4
221, 12, 18, 19, 20, 21hashunlei 11393 1  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   {cpr 3654   {ctp 3655   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Fincfn 6879   1c1 8754    <_ cle 8884   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   9c9 9818  ;cdc 10140   #chash 11353   Topctop 16647   intcnt 16770   clsccl 16771
This theorem is referenced by:  kur14lem9  23760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator