Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem8 Unicode version

Theorem kur14lem8 23744
Description: Lemma for kur14 23747. Show that the set  T contains at most  1
4 elements. (It could be less if some of the operators take the same value for a given set, but Kuratowski showed that this upper bound of  1 4 is tight in the sense that there exist topological spaces and subsets of these spaces for which all  1 4 generated sets are distinct, and indeed the real numbers form such a topological space.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
Assertion
Ref Expression
kur14lem8  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )

Proof of Theorem kur14lem8
StepHypRef Expression
1 kur14lem.t . 2  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  =  ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  =  ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )
4 hashtplei 11380 . . . 4  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) } )  <_  3
)
5 hashtplei 11380 . . . 4  |-  ( { B ,  C , 
( I `  A
) }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  <_ 
3 )
6 3nn0 9983 . . . 4  |-  3  e.  NN0
7 3p3e6 9856 . . . 4  |-  ( 3  +  3 )  =  6
83, 4, 5, 6, 6, 7hashunlei 11377 . . 3  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  e. 
Fin  /\  ( # `  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } ) )  <_  6 )
9 hashtplei 11380 . . 3  |-  ( { ( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( K `  B
) ,  D , 
( K `  (
I `  A )
) } )  <_ 
3 )
10 6nn0 9986 . . 3  |-  6  e.  NN0
11 6p3e9 9865 . . 3  |-  ( 6  +  3 )  =  9
122, 8, 9, 10, 6, 11hashunlei 11377 . 2  |-  ( ( ( { A , 
( X  \  A
) ,  ( K `
 A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `  A ) } )  u.  { ( K `
 B ) ,  D ,  ( K `
 ( I `  A ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) )  <_  9 )
13 eqid 2283 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  =  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )
14 hashtplei 11380 . . 3  |-  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  e.  Fin  /\  ( # `  {
( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) } )  <_ 
3 )
15 hashprlei 11379 . . 3  |-  ( { ( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) }  e.  Fin  /\  ( # `
 { ( K `
 ( I `  C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `  A ) ) ) } )  <_  2
)
16 2nn0 9982 . . 3  |-  2  e.  NN0
17 3p2e5 9855 . . 3  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1813, 14, 15, 6, 16, 17hashunlei 11377 . 2  |-  ( ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `  B ) ) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } )  e.  Fin  /\  ( # `  ( { ( I `  C
) ,  ( K `
 D ) ,  ( I `  ( K `  B )
) }  u.  {
( K `  (
I `  C )
) ,  ( I `
 ( K `  ( I `  A
) ) ) } ) )  <_  5
)
19 9nn0 9989 . 2  |-  9  e.  NN0
20 5nn0 9985 . 2  |-  5  e.  NN0
21 9p5e14 10189 . 2  |-  ( 9  +  5 )  = ; 1
4
221, 12, 18, 19, 20, 21hashunlei 11377 1  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   {cpr 3641   {ctp 3642   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Fincfn 6863   1c1 8738    <_ cle 8868   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   9c9 9802  ;cdc 10124   #chash 11337   Topctop 16631   intcnt 16754   clsccl 16755
This theorem is referenced by:  kur14lem9  23745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator