Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem8 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem8 24900
 Description: Lemma for kur14 24903. Show that the set contains at most elements. (It could be less if some of the operators take the same value for a given set, but Kuratowski showed that this upper bound of is tight in the sense that there exist topological spaces and subsets of these spaces for which all generated sets are distinct, and indeed the real numbers form such a topological space.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j
kur14lem.x
kur14lem.k
kur14lem.i
kur14lem.a
kur14lem.b
kur14lem.c
kur14lem.d
kur14lem.t
Assertion
Ref Expression
kur14lem8 ;

Proof of Theorem kur14lem8
StepHypRef Expression
1 kur14lem.t . 2
2 eqid 2437 . . 3
3 eqid 2437 . . . 4
4 hashtplei 11691 . . . 4
5 hashtplei 11691 . . . 4
6 3nn0 10240 . . . 4
7 3p3e6 10113 . . . 4
83, 4, 5, 6, 6, 7hashunlei 11685 . . 3
9 hashtplei 11691 . . 3
10 6nn0 10243 . . 3
11 6p3e9 10122 . . 3
122, 8, 9, 10, 6, 11hashunlei 11685 . 2
13 eqid 2437 . . 3
14 hashtplei 11691 . . 3
15 hashprlei 11687 . . 3
16 2nn0 10239 . . 3
17 3p2e5 10112 . . 3
1813, 14, 15, 6, 16, 17hashunlei 11685 . 2
19 9nn0 10246 . 2
20 5nn0 10242 . 2
21 9p5e14 10448 . 2 ;
221, 12, 18, 19, 20, 21hashunlei 11685 1 ;
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cdif 3318   cun 3319   wss 3321  cpr 3816  ctp 3817  cuni 4016   class class class wbr 4213  cfv 5455  cfn 7110  c1 8992   cle 9122  c2 10050  c3 10051  c4 10052  c5 10053  c6 10054  c9 10057  ;cdc 10383  chash 11619  ctop 16959  cnt 17082  ccl 17083 This theorem is referenced by:  kur14lem9  24901 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-hash 11620
 Copyright terms: Public domain W3C validator