Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem9 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem9 24900
Description: Lemma for kur14 24902. Since the set  T is closed under closure and complement, it contains the minimal set  S as a subset, so  S also has at most  1 4 elements. (Indeed  S  =  T, and it's not hard to prove this, but we don't need it for this proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j  |-  J  e. 
Top
kur14lem.x  |-  X  = 
U. J
kur14lem.k  |-  K  =  ( cls `  J
)
kur14lem.i  |-  I  =  ( int `  J
)
kur14lem.a  |-  A  C_  X
kur14lem.b  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
kur14lem.c  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
kur14lem.d  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
kur14lem.t  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
kur14lem.s  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
Assertion
Ref Expression
kur14lem9  |-  ( S  e.  Fin  /\  ( # `
 S )  <_ ; 1 4 )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    x, y, T   
x, X, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x, y)    D( x, y)    S( x, y)    I( x, y)    J( x, y)    K( y)

Proof of Theorem kur14lem9
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kur14lem.s . . 3  |-  S  = 
|^| { x  e.  ~P ~P X  |  ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x ) }
2 vex 2959 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
32elintrab 4062 . . . . 5  |-  ( s  e.  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) } 
<-> 
A. x  e.  ~P  ~P X ( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  x )  -> 
s  e.  x ) )
4 ssun1 3510 . . . . . . . 8  |-  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  C_  ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `
 A ) } )
5 ssun1 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  C_  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C ,  ( I `
 A ) } )  u.  { ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `
 A ) ) } )
6 ssun1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) 
C_  ( ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
7 kur14lem.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } )  u.  ( { ( I `  C ) ,  ( K `  D ) ,  ( I `  ( K `
 B ) ) }  u.  { ( K `  ( I `
 C ) ) ,  ( I `  ( K `  ( I `
 A ) ) ) } ) )
86, 7sseqtr4i 3381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  u. 
{ ( K `  B ) ,  D ,  ( K `  ( I `  A
) ) } ) 
C_  T
95, 8sstri 3357 . . . . . . . 8  |-  ( { A ,  ( X 
\  A ) ,  ( K `  A
) }  u.  { B ,  C , 
( I `  A
) } )  C_  T
104, 9sstri 3357 . . . . . . 7  |-  { A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }  C_  T
11 kur14lem.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
12 kur14lem.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. J
1312topopn 16979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
1411, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  X  e.  J
1514elexi 2965 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
_V
16 kur14lem.a . . . . . . . . 9  |-  A  C_  X
1715, 16ssexi 4348 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
1817tpid1 3917 . . . . . . 7  |-  A  e. 
{ A ,  ( X  \  A ) ,  ( K `  A ) }
1910, 18sselii 3345 . . . . . 6  |-  A  e.  T
20 kur14lem.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( cls `  J
)
21 kur14lem.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( int `  J
)
22 kur14lem.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( X  \  ( K `  A )
)
23 kur14lem.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( K `  ( X  \  A ) )
24 kur14lem.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( I `  ( K `  A )
)
2511, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem7 24898 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  T  ->  (
y  C_  X  /\  { ( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T ) )
2625simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  T  ->  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y ) }  C_  T )
2726rgen 2771 . . . . . 6  |-  A. y  e.  T  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
2825simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  T  ->  y  C_  X )
2915elpw2 4364 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
3028, 29sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  T  ->  y  e.  ~P X )
3130ssriv 3352 . . . . . . . 8  |-  T  C_  ~P X
3215pwex 4382 . . . . . . . . 9  |-  ~P X  e.  _V
3332elpw2 4364 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ~P ~P X  <->  T 
C_  ~P X )
3431, 33mpbir 201 . . . . . . 7  |-  T  e. 
~P ~P X
35 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  T ) )
36 sseq2 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  T  ->  ( { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x  <->  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
) )
3736raleqbi1dv 2912 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  ( A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x  <->  A. y  e.  T  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  T
) )
3835, 37anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x )  <->  ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T ) ) )
39 eleq2 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
s  e.  x  <->  s  e.  T ) )
4038, 39imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  <->  ( ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T )  -> 
s  e.  T ) ) )
4140rspccv 3049 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  ( T  e.  ~P ~P X  ->  ( ( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  {
( X  \  y
) ,  ( K `
 y ) } 
C_  T )  -> 
s  e.  T ) ) )
4234, 41mpi 17 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  (
( A  e.  T  /\  A. y  e.  T  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  T )  ->  s  e.  T ) )
4319, 27, 42mp2ani 660 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~P  ~P X
( ( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \  y ) ,  ( K `  y
) }  C_  x
)  ->  s  e.  x )  ->  s  e.  T )
443, 43sylbi 188 . . . 4  |-  ( s  e.  |^| { x  e. 
~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  ->  s  e.  T
)
4544ssriv 3352 . . 3  |-  |^| { x  e.  ~P ~P X  | 
( A  e.  x  /\  A. y  e.  x  { ( X  \ 
y ) ,  ( K `  y ) }  C_  x ) }  C_  T
461, 45eqsstri 3378 . 2  |-  S  C_  T
4711, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem8 24899 . 2  |-  ( T  e.  Fin  /\  ( # `
 T )  <_ ; 1 4 )
48 1nn0 10237 . . 3  |-  1  e.  NN0
49 4nn0 10240 . . 3  |-  4  e.  NN0
5048, 49deccl 10396 . 2  |- ; 1 4  e.  NN0
5146, 47, 50hashsslei 11685 1  |-  ( S  e.  Fin  /\  ( # `
 S )  <_ ; 1 4 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {cpr 3815   {ctp 3816   U.cuni 4015   |^|cint 4050   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   Fincfn 7109   1c1 8991    <_ cle 9121   4c4 10051  ;cdc 10382   #chash 11618   Topctop 16958   intcnt 17081   clsccl 17082
This theorem is referenced by:  kur14lem10  24901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-top 16963  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator