Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kur14lem9 Structured version   Unicode version

Theorem kur14lem9 24900
 Description: Lemma for kur14 24902. Since the set is closed under closure and complement, it contains the minimal set as a subset, so also has at most elements. (Indeed , and it's not hard to prove this, but we don't need it for this proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kur14lem.j
kur14lem.x
kur14lem.k
kur14lem.i
kur14lem.a
kur14lem.b
kur14lem.c
kur14lem.d
kur14lem.t
kur14lem.s
Assertion
Ref Expression
kur14lem9 ;
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem kur14lem9
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kur14lem.s . . 3
2 vex 2959 . . . . . 6
32elintrab 4062 . . . . 5
4 ssun1 3510 . . . . . . . 8
5 ssun1 3510 . . . . . . . . 9
6 ssun1 3510 . . . . . . . . . 10
7 kur14lem.t . . . . . . . . . 10
86, 7sseqtr4i 3381 . . . . . . . . 9
95, 8sstri 3357 . . . . . . . 8
104, 9sstri 3357 . . . . . . 7
11 kur14lem.j . . . . . . . . . . 11
12 kur14lem.x . . . . . . . . . . . 12
1312topopn 16979 . . . . . . . . . . 11
1411, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
1514elexi 2965 . . . . . . . . 9
16 kur14lem.a . . . . . . . . 9
1715, 16ssexi 4348 . . . . . . . 8
1817tpid1 3917 . . . . . . 7
1910, 18sselii 3345 . . . . . 6
20 kur14lem.k . . . . . . . . 9
21 kur14lem.i . . . . . . . . 9
22 kur14lem.b . . . . . . . . 9
23 kur14lem.c . . . . . . . . 9
24 kur14lem.d . . . . . . . . 9
2511, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem7 24898 . . . . . . . 8
2625simprd 450 . . . . . . 7
2726rgen 2771 . . . . . 6
2825simpld 446 . . . . . . . . . 10
2915elpw2 4364 . . . . . . . . . 10
3028, 29sylibr 204 . . . . . . . . 9
3130ssriv 3352 . . . . . . . 8
3215pwex 4382 . . . . . . . . 9
3332elpw2 4364 . . . . . . . 8
3431, 33mpbir 201 . . . . . . 7
35 eleq2 2497 . . . . . . . . . 10
36 sseq2 3370 . . . . . . . . . . 11
3736raleqbi1dv 2912 . . . . . . . . . 10
3835, 37anbi12d 692 . . . . . . . . 9
39 eleq2 2497 . . . . . . . . 9
4038, 39imbi12d 312 . . . . . . . 8
4140rspccv 3049 . . . . . . 7
4234, 41mpi 17 . . . . . 6
4319, 27, 42mp2ani 660 . . . . 5
443, 43sylbi 188 . . . 4
4544ssriv 3352 . . 3
461, 45eqsstri 3378 . 2
4711, 12, 20, 21, 16, 22, 23, 24, 7kur14lem8 24899 . 2 ;
48 1nn0 10237 . . 3
49 4nn0 10240 . . 3
5048, 49deccl 10396 . 2 ;
5146, 47, 50hashsslei 11685 1 ;
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  crab 2709   cdif 3317   cun 3318   wss 3320  cpw 3799  cpr 3815  ctp 3816  cuni 4015  cint 4050   class class class wbr 4212  cfv 5454  cfn 7109  c1 8991   cle 9121  c4 10051  ;cdc 10382  chash 11618  ctop 16958  cnt 17081  ccl 17082 This theorem is referenced by:  kur14lem10  24901 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619  df-top 16963  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085
 Copyright terms: Public domain W3C validator