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Theorem lactghmga 14800
Description: The converse of galactghm 14799. The uncurrying of a homomorphism into  ( SymGrp `  Y
) is a group action. Thus, group actions and group homomorphisms into a symmetric group are essentially equivalent notions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lactghmga.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
lactghmga.h  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
lactghmga.f  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( F `  x
) `  y )
)
Assertion
Ref Expression
lactghmga  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, H, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .(+) ( x, y)

Proof of Theorem lactghmga
Dummy variables  v  u  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 14701 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  G  e.  Grp )
2 ghmgrp2 14702 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  H  e.  Grp )
3 grpn0 14530 . . . 4  |-  ( H  e.  Grp  ->  H  =/=  (/) )
4 lactghmga.h . . . . . 6  |-  H  =  ( SymGrp `  Y )
5 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  Y  e.  _V  ->  (
SymGrp `  Y )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  Y  e.  _V  ->  H  =  (/) )
76necon1ai 2501 . . . 4  |-  ( H  =/=  (/)  ->  Y  e.  _V )
82, 3, 73syl 18 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  Y  e.  _V )
91, 8jca 518 . 2  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( G  e.  Grp  /\  Y  e. 
_V ) )
10 lactghmga.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
1210, 11ghmf 14703 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  F : X
--> ( Base `  H
) )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> ( Base `  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
) )
1412, 13sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  H
) )
158adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  Y  e.  _V )
164, 11elsymgbas 14790 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
1814, 17mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y )
19 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x ) : Y -1-1-onto-> Y  ->  ( F `  x ) : Y --> Y )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x ) : Y --> Y )
21 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
) : Y --> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( F `  x ) `  y
)  e.  Y )
2220, 21sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
2322ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
2423ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) `  y )  e.  Y
)
25 lactghmga.f . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( F `  x
) `  y )
)
2625fmpt2 6207 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( F `  x
) `  y )  e.  Y  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
2724, 26sylib 188 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
28 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
2910, 28grpidcl 14526 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
301, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
31 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  G ) ) )
3231fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 ( 0g `  G ) ) `  y ) )
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  ( 0g `  G ) ) `
 y )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) `  z ) )
34 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 0g
`  G ) ) `
 z )  e. 
_V
3532, 33, 25, 34ovmpt2 5999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  ( ( F `
 ( 0g `  G ) ) `  z ) )
3630, 35sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  ( ( F `  ( 0g `  G ) ) `  z ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
3828, 37ghmid 14705 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  ( F `  ( 0g `  G
) )  =  ( 0g `  H ) )
3938adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g `  H
) )
408adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  Y  e.  _V )
414symgid 14797 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  _V  ->  (  _I  |`  Y )  =  ( 0g `  H
) )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (  _I  |`  Y )  =  ( 0g `  H
) )
4339, 42eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( 0g `  G ) )  =  (  _I  |`  Y ) )
4443fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( F `  ( 0g `  G ) ) `
 z )  =  ( (  _I  |`  Y ) `
 z ) )
45 fvresi 5727 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Y  ->  (
(  _I  |`  Y ) `
 z )  =  z )
4645adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
(  _I  |`  Y ) `
 z )  =  z )
4736, 44, 463eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z )
4812ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  F : X --> ( Base `  H
) )
49 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  v  e.  X )
50 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> ( Base `  H )  /\  v  e.  X )  ->  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )
5148, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )
528ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  Y  e.  _V )
534, 11elsymgbas 14790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
( F `  v
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  v
)  e.  ( Base `  H )  <->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y
) )
5551, 54mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y )
56 f1of 5488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v ) : Y -1-1-onto-> Y  ->  ( F `  v ) : Y --> Y )
5755, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  v ) : Y --> Y )
58 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  z  e.  Y )
59 fvco3 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  v
) : Y --> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( ( F `
 u )  o.  ( F `  v
) ) `  z
)  =  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) ) )
6057, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) `  z )  =  ( ( F `
 u ) `  ( ( F `  v ) `  z
) ) )
61 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  F  e.  ( G  GrpHom  H ) )
62 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  u  e.  X )
63 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
6510, 63, 64ghmlin 14704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u ) ( +g  `  H ) ( F `
 v ) ) )
6661, 62, 49, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u ) ( +g  `  H ) ( F `
 v ) ) )
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> ( Base `  H )  /\  u  e.  X )  ->  ( F `  u )  e.  ( Base `  H
) )
6848, 62, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  ( Base `  H
) )
694, 11, 64symgov 14793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  ( Base `  H )  /\  ( F `  v )  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
( F `  u
) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
7068, 51, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  u
) ( +g  `  H
) ( F `  v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
7166, 70eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  ( F `  ( u
( +g  `  G ) v ) )  =  ( ( F `  u )  o.  ( F `  v )
) )
7271fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  =  ( ( ( F `
 u )  o.  ( F `  v
) ) `  z
) )
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  v
) : Y --> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F `  v ) `  z
)  e.  Y )
7457, 58, 73syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  v
) `  z )  e.  Y )
75 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
7675fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 u ) `  y ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( F `
 v ) `  z )  ->  (
( F `  u
) `  y )  =  ( ( F `
 u ) `  ( ( F `  v ) `  z
) ) )
78 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) )  e. 
_V
7976, 77, 25, 78ovmpt2 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  X  /\  ( ( F `  v ) `  z
)  e.  Y )  ->  ( u  .(+)  ( ( F `  v
) `  z )
)  =  ( ( F `  u ) `
 ( ( F `
 v ) `  z ) ) )
8062, 74, 79syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u  .(+)  ( ( F `
 v ) `  z ) )  =  ( ( F `  u ) `  (
( F `  v
) `  z )
) )
8160, 72, 803eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  =  ( u  .(+)  ( ( F `  v ) `
 z ) ) )
821ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  G  e.  Grp )
8310, 63grpcl 14511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  v  e.  X )  ->  ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X )
8482, 62, 49, 83syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  e.  X )
85 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( u ( +g  `  G ) v )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) )
8685fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u ( +g  `  G ) v )  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  y ) )
87 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  (
u ( +g  `  G
) v ) ) `
 y )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
88 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  ( u ( +g  `  G
) v ) ) `
 z )  e. 
_V
8986, 87, 25, 88ovmpt2 5999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u ( +g  `  G ) v )  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
9084, 58, 89syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( ( F `  ( u ( +g  `  G ) v ) ) `  z ) )
91 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( F `  x )  =  ( F `  v ) )
9291fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( F `  x
) `  y )  =  ( ( F `
 v ) `  y ) )
93 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  v
) `  y )  =  ( ( F `
 v ) `  z ) )
94 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  v ) `
 z )  e. 
_V
9592, 93, 25, 94ovmpt2 5999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( v  .(+)  z )  =  ( ( F `
 v ) `  z ) )
9649, 58, 95syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
v  .(+)  z )  =  ( ( F `  v ) `  z
) )
9796oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
u  .(+)  ( v  .(+)  z ) )  =  ( u  .(+)  ( ( F `  v ) `  z ) ) )
9881, 90, 973eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X
) )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) )
9998ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) )
10047, 99jca 518 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( G 
GrpHom  H )  /\  z  e.  Y )  ->  (
( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) )
101100ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  A. z  e.  Y  ( (
( 0g `  G
)  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( (
u ( +g  `  G
) v )  .(+)  z )  =  ( u 
.(+)  ( v  .(+)  z ) ) ) )
10227, 101jca 518 . 2  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  /\  A. z  e.  Y  (
( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) ) )
10310, 63, 28isga 14761 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. z  e.  Y  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  z )  =  z  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
( u ( +g  `  G ) v ) 
.(+)  z )  =  ( u  .(+)  ( v 
.(+)  z ) ) ) ) ) )
1049, 102, 103sylanbrc 645 1  |-  ( F  e.  ( G  GrpHom  H )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   (/)c0 3468    _I cid 4320    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378    GrpHom cghm 14696    GrpAct cga 14759   SymGrpcsymg 14785
This theorem is referenced by:  symgga  14802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-ga 14760  df-symg 14786
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