Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lactghmga Unicode version

Theorem lactghmga 14800
 Description: The converse of galactghm 14799. The uncurrying of a homomorphism into is a group action. Thus, group actions and group homomorphisms into a symmetric group are essentially equivalent notions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lactghmga.x
lactghmga.h
lactghmga.f
Assertion
Ref Expression
lactghmga
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem lactghmga
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 14701 . . 3
2 ghmgrp2 14702 . . . 4
3 grpn0 14530 . . . 4
4 lactghmga.h . . . . . 6
5 fvprc 5535 . . . . . 6
64, 5syl5eq 2340 . . . . 5
76necon1ai 2501 . . . 4
82, 3, 73syl 18 . . 3
91, 8jca 518 . 2
10 lactghmga.x . . . . . . . . . . 11
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
1210, 11ghmf 14703 . . . . . . . . . 10
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
1412, 13sylan 457 . . . . . . . . 9
158adantr 451 . . . . . . . . . 10
164, 11elsymgbas 14790 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9
1814, 17mpbid 201 . . . . . . . 8
19 f1of 5488 . . . . . . . 8
2018, 19syl 15 . . . . . . 7
21 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
2220, 21sylan 457 . . . . . 6
2322ralrimiva 2639 . . . . 5
2423ralrimiva 2639 . . . 4
25 lactghmga.f . . . . 5
2625fmpt2 6207 . . . 4
2724, 26sylib 188 . . 3
28 eqid 2296 . . . . . . . . 9
2910, 28grpidcl 14526 . . . . . . . 8
301, 29syl 15 . . . . . . 7
31 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
3231fveq1d 5543 . . . . . . . 8
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8
34 fvex 5555 . . . . . . . 8
3532, 33, 25, 34ovmpt2 5999 . . . . . . 7
3630, 35sylan 457 . . . . . 6
37 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
3828, 37ghmid 14705 . . . . . . . . 9
3938adantr 451 . . . . . . . 8
408adantr 451 . . . . . . . . 9
414symgid 14797 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8
4339, 42eqtr4d 2331 . . . . . . 7
4443fveq1d 5543 . . . . . 6
45 fvresi 5727 . . . . . . 7
4645adantl 452 . . . . . 6
4736, 44, 463eqtrd 2332 . . . . 5
4812ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
49 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
50 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
5148, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
528ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
534, 11elsymgbas 14790 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11
5551, 54mpbid 201 . . . . . . . . . 10
56 f1of 5488 . . . . . . . . . 10
5755, 56syl 15 . . . . . . . . 9
58 simplr 731 . . . . . . . . 9
59 fvco3 5612 . . . . . . . . 9
6057, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8
61 simpll 730 . . . . . . . . . . 11
62 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
63 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
64 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
6510, 63, 64ghmlin 14704 . . . . . . . . . . 11
6661, 62, 49, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
67 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
6848, 62, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
694, 11, 64symgov 14793 . . . . . . . . . . 11
7068, 51, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
7166, 70eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
7271fveq1d 5543 . . . . . . . 8
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
7457, 58, 73syl2anc 642 . . . . . . . . 9
75 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
7675fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
78 fvex 5555 . . . . . . . . . 10
7976, 77, 25, 78ovmpt2 5999 . . . . . . . . 9
8062, 74, 79syl2anc 642 . . . . . . . 8
8160, 72, 803eqtr4d 2338 . . . . . . 7
821ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
8310, 63grpcl 14511 . . . . . . . . 9
8482, 62, 49, 83syl3anc 1182 . . . . . . . 8
85 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
8685fveq1d 5543 . . . . . . . . 9
87 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
88 fvex 5555 . . . . . . . . 9
8986, 87, 25, 88ovmpt2 5999 . . . . . . . 8
9084, 58, 89syl2anc 642 . . . . . . 7
91 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11
9291fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10
93 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
94 fvex 5555 . . . . . . . . . 10
9592, 93, 25, 94ovmpt2 5999 . . . . . . . . 9
9649, 58, 95syl2anc 642 . . . . . . . 8
9796oveq2d 5890 . . . . . . 7
9881, 90, 973eqtr4d 2338 . . . . . 6
9998ralrimivva 2648 . . . . 5
10047, 99jca 518 . . . 4
101100ralrimiva 2639 . . 3
10227, 101jca 518 . 2
10310, 63, 28isga 14761 . 2
1049, 102, 103sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cvv 2801  c0 3468   cid 4320   cxp 4703   cres 4707   ccom 4709  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  cgrp 14378   cghm 14696   cga 14759  csymg 14785 This theorem is referenced by:  symgga  14802 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-ga 14760  df-symg 14786
 Copyright terms: Public domain W3C validator