Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lactghmga Structured version   Unicode version

Theorem lactghmga 15097
 Description: The converse of galactghm 15096. The uncurrying of a homomorphism into is a group action. Thus, group actions and group homomorphisms into a symmetric group are essentially equivalent notions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lactghmga.x
lactghmga.h
lactghmga.f
Assertion
Ref Expression
lactghmga
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem lactghmga
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 14998 . . 3
2 ghmgrp2 14999 . . . 4
3 grpn0 14827 . . . 4
4 lactghmga.h . . . . . 6
5 fvprc 5714 . . . . . 6
64, 5syl5eq 2479 . . . . 5
76necon1ai 2640 . . . 4
82, 3, 73syl 19 . . 3
91, 8jca 519 . 2
10 lactghmga.x . . . . . . . . . . 11
11 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
1210, 11ghmf 15000 . . . . . . . . . 10
1312ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
148adantr 452 . . . . . . . . . 10
154, 11elsymgbas 15087 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9
1713, 16mpbid 202 . . . . . . . 8
18 f1of 5666 . . . . . . . 8
1917, 18syl 16 . . . . . . 7
2019ffvelrnda 5862 . . . . . 6
2120ralrimiva 2781 . . . . 5
2221ralrimiva 2781 . . . 4
23 lactghmga.f . . . . 5
2423fmpt2 6410 . . . 4
2522, 24sylib 189 . . 3
26 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2710, 26grpidcl 14823 . . . . . . . 8
281, 27syl 16 . . . . . . 7
29 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
3029fveq1d 5722 . . . . . . . 8
31 fveq2 5720 . . . . . . . 8
32 fvex 5734 . . . . . . . 8
3330, 31, 23, 32ovmpt2 6201 . . . . . . 7
3428, 33sylan 458 . . . . . 6
35 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
3626, 35ghmid 15002 . . . . . . . . 9
3736adantr 452 . . . . . . . 8
388adantr 452 . . . . . . . . 9
394symgid 15094 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8
4137, 40eqtr4d 2470 . . . . . . 7
4241fveq1d 5722 . . . . . 6
43 fvresi 5916 . . . . . . 7
4443adantl 453 . . . . . 6
4534, 42, 443eqtrd 2471 . . . . 5
4612ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
47 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
4846, 47ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11
498ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
504, 11elsymgbas 15087 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11
5248, 51mpbid 202 . . . . . . . . . 10
53 f1of 5666 . . . . . . . . . 10
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9
55 simplr 732 . . . . . . . . 9
56 fvco3 5792 . . . . . . . . 9
5754, 55, 56syl2anc 643 . . . . . . . 8
58 simpll 731 . . . . . . . . . . 11
59 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
60 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
61 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
6210, 60, 61ghmlin 15001 . . . . . . . . . . 11
6358, 59, 47, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
6446, 59ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . 11
654, 11, 61symgov 15090 . . . . . . . . . . 11
6664, 48, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
6763, 66eqtrd 2467 . . . . . . . . 9
6867fveq1d 5722 . . . . . . . 8
6954, 55ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9
70 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
7170fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10
72 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
73 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
7471, 72, 23, 73ovmpt2 6201 . . . . . . . . 9
7559, 69, 74syl2anc 643 . . . . . . . 8
7657, 68, 753eqtr4d 2477 . . . . . . 7
771ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
7810, 60grpcl 14808 . . . . . . . . 9
7977, 59, 47, 78syl3anc 1184 . . . . . . . 8
80 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
8180fveq1d 5722 . . . . . . . . 9
82 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
83 fvex 5734 . . . . . . . . 9
8481, 82, 23, 83ovmpt2 6201 . . . . . . . 8
8579, 55, 84syl2anc 643 . . . . . . 7
86 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
8786fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10
88 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
89 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
9087, 88, 23, 89ovmpt2 6201 . . . . . . . . 9
9147, 55, 90syl2anc 643 . . . . . . . 8
9291oveq2d 6089 . . . . . . 7
9376, 85, 923eqtr4d 2477 . . . . . 6
9493ralrimivva 2790 . . . . 5
9545, 94jca 519 . . . 4
9695ralrimiva 2781 . . 3
9725, 96jca 519 . 2
9810, 60, 26isga 15058 . 2
999, 97, 98sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948  c0 3620   cid 4485   cxp 4868   cres 4872   ccom 4874  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cbs 13459   cplusg 13519  c0g 13713  cgrp 14675   cghm 14993   cga 15056  csymg 15082 This theorem is referenced by:  symgga  15099 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-plusg 13532  df-tset 13538  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-ghm 14994  df-ga 15057  df-symg 15083
 Copyright terms: Public domain W3C validator