MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Unicode version

Theorem lagsubg 14679
Description: Lagrange theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lagsubg  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
2 pwfi 7151 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
31, 2sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ~P X  e.  Fin )
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
64, 5eqger 14667 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
87qsss 6720 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X
)
9 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
103, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
11 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1312nn0zd 10115 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  X  e.  Fin )
154subgss 14622 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
16 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  Fin )
1714, 15, 16syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  Fin )
18 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
2019nn0zd 10115 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e.  ZZ )
21 dvdsmul2 12551 . . 3  |-  ( ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  Y
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  Y
)  ||  ( ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `  Y
) ) )
2213, 20, 21syl2anc 642 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
23 simpl 443 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
244, 5, 23, 1lagsubg2 14678 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
2522, 24breqtrrd 4049 1  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    Er wer 6657   /.cqs 6659   Fincfn 6863    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   #chash 11337    || cdivides 12531   Basecbs 13148  SubGrpcsubg 14615   ~QG cqg 14617
This theorem is referenced by:  oddvds2  14879  fislw  14936  sylow3lem4  14941  ablfacrp2  15302  ablfac1c  15306  ablfac1eu  15308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-eqg 14620
  Copyright terms: Public domain W3C validator