Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latdir Unicode version

Theorem latdir 25398
Description: A lattice is a direction. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
latdir  |-  LatRel  C_  DirRel

Proof of Theorem latdir
Dummy variables  x  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posispre 25344 . . . . 5  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  p  e. PresetRel )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p ) )  ->  p  e. PresetRel )
3 zfpair 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  e.  _V
4 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  p  =  dom  p
54supaub 25376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  {
x ,  y }  e.  _V  /\  (
p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) )
653exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( { x ,  y }  e.  _V  ->  ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  -> 
( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) ) ) )
76com3l 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x ,  y }  e.  _V  ->  (
( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( p  e.  PosetRel 
->  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) ) ) )
83, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( p  e.  PosetRel  -> 
( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) ) )
9 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( p  sup w  { x ,  y } )  ->  (
z  e.  ( p  ub  { x ,  y } )  <->  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
109rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) )  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) )
1110ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } )  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  (
p  ub  { x ,  y } ) ) )
128, 11syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( p  e.  PosetRel  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  (
p  ub  { x ,  y } ) ) )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  (
p  e.  PosetRel  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1413com12 27 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1514ralimdv 2635 . . . . . 6  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1615ralimdv 2635 . . . . 5  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1716imp 418 . . . 4  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p ) )  ->  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  (
p  ub  { x ,  y } ) )
182, 17jca 518 . . 3  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p ) )  -> 
( p  e. PresetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub 
{ x ,  y } ) ) )
194isla 14358 . . 3  |-  ( p  e.  LatRel 
<->  ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  {
x ,  y } )  e.  dom  p
) ) )
204isdir2 25395 . . 3  |-  ( p  e.  DirRel 
<->  ( p  e. PresetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub 
{ x ,  y } ) ) )
2118, 19, 203imtr4i 257 . 2  |-  ( p  e.  LatRel  ->  p  e.  DirRel )
2221ssriv 3197 1  |-  LatRel  C_  DirRel
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {cpr 3654   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   PosetRelcps 14317    sup w cspw 14319    inf w cinf 14320   LatRelcla 14321   DirRelcdir 14366  PresetRelcpresetrel 25318    ub cub 25321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-undef 6314  df-riota 6320  df-ps 14322  df-spw 14324  df-lar 14326  df-dir 14368  df-prs 25326  df-ub 25356
  Copyright terms: Public domain W3C validator