Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latdir Unicode version

Theorem latdir 25295
Description: A lattice is a direction. (Contributed by FL, 19-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
latdir  |-  LatRel  C_  DirRel

Proof of Theorem latdir
Dummy variables  x  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posispre 25241 . . . . 5  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  p  e. PresetRel )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p ) )  ->  p  e. PresetRel )
3 zfpair 4212 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  e.  _V
4 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  p  =  dom  p
54supaub 25273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  {
x ,  y }  e.  _V  /\  (
p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) )
653exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( { x ,  y }  e.  _V  ->  ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  -> 
( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) ) ) )
76com3l 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x ,  y }  e.  _V  ->  (
( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( p  e.  PosetRel 
->  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) ) ) )
83, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( p  e.  PosetRel  -> 
( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) ) )
9 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( p  sup w  { x ,  y } )  ->  (
z  e.  ( p  ub  { x ,  y } )  <->  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
109rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } ) )  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) )
1110ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  ( p  ub  { x ,  y } )  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  (
p  ub  { x ,  y } ) ) )
128, 11syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  ->  ( p  e.  PosetRel  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  (
p  ub  { x ,  y } ) ) )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  (
p  e.  PosetRel  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1413com12 27 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1514ralimdv 2622 . . . . . 6  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1615ralimdv 2622 . . . . 5  |-  ( p  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  {
x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p )  ->  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub  {
x ,  y } ) ) )
1716imp 418 . . . 4  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p ) )  ->  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  (
p  ub  { x ,  y } ) )
182, 17jca 518 . . 3  |-  ( ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  { x ,  y } )  e.  dom  p ) )  -> 
( p  e. PresetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub 
{ x ,  y } ) ) )
194isla 14342 . . 3  |-  ( p  e.  LatRel 
<->  ( p  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p ( ( p  sup w  { x ,  y } )  e.  dom  p  /\  ( p  inf w  {
x ,  y } )  e.  dom  p
) ) )
204isdir2 25292 . . 3  |-  ( p  e.  DirRel 
<->  ( p  e. PresetRel  /\  A. x  e.  dom  p A. y  e.  dom  p E. z  e.  dom  p  z  e.  ( p  ub 
{ x ,  y } ) ) )
2118, 19, 203imtr4i 257 . 2  |-  ( p  e.  LatRel  ->  p  e.  DirRel )
2221ssriv 3184 1  |-  LatRel  C_  DirRel
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {cpr 3641   dom cdm 4689  (class class class)co 5858   PosetRelcps 14301    sup w cspw 14303    inf w cinf 14304   LatRelcla 14305   DirRelcdir 14350  PresetRelcpresetrel 25215    ub cub 25218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-undef 6298  df-riota 6304  df-ps 14306  df-spw 14308  df-lar 14310  df-dir 14352  df-prs 25223  df-ub 25253
  Copyright terms: Public domain W3C validator