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Theorem latdisdlem 14292
Description: Lemma for latdisd 14293. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latdisd.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
latdisd.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latdisdlem  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, K   
u, B, v, w, x, y, z    u,  .\/ , v, w, x, y, z    u,  ./\ , v, w, x, y, z

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  ./\  y
)  e.  B )
433adant3r3 1162 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  y )  e.  B )
5 simpr1 961 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
6 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  z  e.  B )
7 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
v  ./\  w )
) )
8 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  v )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  v ) )
9 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
u  .\/  w )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  w ) )
108, 9oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  v )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )
) )
117, 10eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( x  ./\  y )  ->  (
( u  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( u  .\/  v ) 
./\  ( u  .\/  w ) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  v
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) ) ) )
12 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
v  ./\  w )  =  ( x  ./\  w ) )
1312oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  w )
) )
14 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  v )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  x ) )
1514oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  v
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )
) )
1613, 15eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  v )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  w
) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  w
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) ) ) )
17 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
x  ./\  w )  =  ( x  ./\  z ) )
1817oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  w ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
) )
19 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  w )  =  ( ( x 
./\  y )  .\/  z ) )
2019oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  w ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  w )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  x )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  w
) )  <->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) ) ) )
2211, 16, 21rspc3v 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  ./\  y
)  e.  B  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  -> 
( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
)  =  ( ( ( x  ./\  y
)  .\/  x )  ./\  ( ( x  ./\  y )  .\/  z
) ) ) )
234, 5, 6, 22syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  ( (
x  ./\  y )  .\/  ( x  ./\  z
) )  =  ( ( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) ) ) )
2423imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) )  =  ( ( ( x 
./\  y )  .\/  x )  ./\  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )
) )
25 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
271, 26latjcom 14165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  ./\  y )  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  ( x  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
2825, 4, 5, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  ( x  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
291, 26, 2latabs1 14193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .\/  (
x  ./\  y )
)  =  x )
30293adant3r3 1162 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .\/  ( x  ./\  y ) )  =  x )
3128, 30eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  x )  =  x )
321, 26latjcom 14165 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  ./\  y )  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
3325, 4, 6, 32syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  y
)  .\/  z )  =  ( z  .\/  ( x  ./\  y ) ) )
3431, 33oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) )  =  ( x  ./\  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) ) ) )
3534adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
( ( x  ./\  y )  .\/  x
)  ./\  ( (
x  ./\  y )  .\/  z ) )  =  ( x  ./\  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) ) ) )
36 simpr2 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
37 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
v  ./\  w )
) )
38 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  v )  =  ( z  .\/  v ) )
39 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  .\/  w )  =  ( z  .\/  w ) )
4038, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  v )  ./\  (
z  .\/  w )
) )
4137, 40eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( u  .\/  v ) 
./\  ( u  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( z  .\/  v
)  ./\  ( z  .\/  w ) ) ) )
4212oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  x  ->  (
z  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
x  ./\  w )
) )
43 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
z  .\/  v )  =  ( z  .\/  x ) )
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  .\/  v
)  ./\  ( z  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  w )
) )
4542, 44eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  .\/  (
v  ./\  w )
)  =  ( ( z  .\/  v ) 
./\  ( z  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( x  ./\  w
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  w ) ) ) )
46 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
x  ./\  w )  =  ( x  ./\  y ) )
4746oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
z  .\/  ( x  ./\  w ) )  =  ( z  .\/  (
x  ./\  y )
) )
48 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
z  .\/  w )  =  ( z  .\/  y ) )
4948oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  w ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  y )
) )
5047, 49eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  .\/  (
x  ./\  w )
)  =  ( ( z  .\/  x ) 
./\  ( z  .\/  w ) )  <->  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
5141, 45, 50rspc3v 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v  ./\  w
) )  =  ( ( u  .\/  v
)  ./\  ( u  .\/  w ) )  -> 
( z  .\/  (
x  ./\  y )
)  =  ( ( z  .\/  x ) 
./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
526, 5, 36, 51syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) )  =  ( ( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
5352imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
z  .\/  ( x  ./\  y ) )  =  ( ( z  .\/  x )  ./\  (
z  .\/  y )
) )
5453oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
551, 26latjcl 14156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( z  .\/  x
)  e.  B )
5625, 6, 5, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  x )  e.  B )
571, 26latjcl 14156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  .\/  y
)  e.  B )
5825, 6, 36, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  y )  e.  B )
591, 2latmass 14291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  ( z  .\/  x
)  e.  B  /\  ( z  .\/  y
)  e.  B ) )  ->  ( (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  ./\  ( z  .\/  y
) )  =  ( x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) ) )
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  (
z  .\/  x )
)  ./\  ( z  .\/  y ) )  =  ( x  ./\  (
( z  .\/  x
)  ./\  ( z  .\/  y ) ) ) )
611, 26latjcom 14165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( z  .\/  x
)  =  ( x 
.\/  z ) )
6225, 6, 5, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  x )  =  ( x  .\/  z ) )
6362oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  =  ( x  ./\  (
x  .\/  z )
) )
641, 26, 2latabs2 14194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( x  ./\  (
x  .\/  z )
)  =  x )
6525, 5, 6, 64syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( x  .\/  z ) )  =  x )
6663, 65eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  x ) )  =  x )
671, 26latjcom 14165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( z  .\/  y
)  =  ( y 
.\/  z ) )
6825, 6, 36, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
z  .\/  y )  =  ( y  .\/  z ) )
6966, 68oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  ./\  (
z  .\/  x )
)  ./\  ( z  .\/  y ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7060, 69eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7170adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( (
z  .\/  x )  ./\  ( z  .\/  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7254, 71eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( z  .\/  ( x  ./\  y
) ) )  =  ( x  ./\  (
y  .\/  z )
) )
7324, 35, 723eqtrrd 2320 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  (
x  ./\  ( y  .\/  z ) )  =  ( ( x  ./\  y )  .\/  (
x  ./\  z )
) )
7473an32s 779 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\ 
A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) ) )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
7574ralrimivvva 2636 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  (
u  .\/  ( v  ./\  w ) )  =  ( ( u  .\/  v )  ./\  (
u  .\/  w )
) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) )
7675ex 423 1  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. w  e.  B  ( u  .\/  ( v 
./\  w ) )  =  ( ( u 
.\/  v )  ./\  ( u  .\/  w ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  ./\  ( y  .\/  z
) )  =  ( ( x  ./\  y
)  .\/  ( x  ./\  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latdisd  14293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ple 13228  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-odu 14233
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