MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Unicode version

Theorem latjcom 14181
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 22101 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjcom  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 latjcom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latjcom.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14172 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
41, 2latjcl 14172 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
543com23 1157 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
63, 5jca 518 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( Y  .\/  X )  e.  B ) )
7 latpos 14171 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
81, 2joincom 14152 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( Y  .\/  X )  e.  B ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y 
.\/  X ) )
97, 8syl3anl1 1230 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( Y  .\/  X )  e.  B ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y 
.\/  X ) )
106, 9mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   Posetcpo 14090   joincjn 14094   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  latleeqj2  14186  latjlej2  14188  latnle  14207  latmlej12  14213  latj12  14218  latj32  14219  latj13  14220  latj31  14221  latj4rot  14224  mod2ile  14228  latdisdlem  14308  olj02  30038  omllaw4  30058  cmt2N  30062  cmtbr3N  30066  cvlexch2  30141  cvlexchb2  30143  cvlatexchb2  30147  cvlatexch2  30149  cvlatexch3  30150  cvlatcvr2  30154  cvlsupr2  30155  cvlsupr7  30160  cvlsupr8  30161  hlatjcom  30179  hlrelat5N  30212  cvrval5  30226  cvrexch  30231  cvratlem  30232  cvrat  30233  2atlt  30250  cvrat3  30253  cvrat4  30254  cvrat42  30255  4noncolr3  30264  1cvrat  30287  3atlem1  30294  4atlem4d  30413  4atlem12  30423  paddcom  30624  paddasslem2  30632  pmapjat2  30665  atmod2i1  30672  atmod2i2  30673  llnmod2i2  30674  atmod4i1  30677  atmod4i2  30678  dalawlem4  30685  dalawlem9  30690  dalawlem12  30693  lhpjat2  30832  lhple  30853  trljat1  30977  trljat2  30978  cdlemc1  31002  cdlemc6  31007  cdlemd1  31009  cdleme5  31051  cdleme9  31064  cdleme10  31065  cdleme19e  31118  trlcolem  31537  trljco2  31552  cdlemk7  31659  cdlemk7u  31681  cdlemkid1  31733  dih1  32098  dihjatc2N  32124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-join 14126  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator