MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Unicode version

Theorem latjcom 14488
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 23008 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjcom  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 latjcom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latjcom.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14479 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
41, 2latjcl 14479 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
543com23 1159 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
63, 5jca 519 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( Y  .\/  X )  e.  B ) )
7 latpos 14478 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
81, 2joincom 14459 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( Y  .\/  X )  e.  B ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y 
.\/  X ) )
97, 8syl3anl1 1232 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( Y  .\/  X )  e.  B ) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y 
.\/  X ) )
106, 9mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   Posetcpo 14397   joincjn 14401   Latclat 14474
This theorem is referenced by:  latleeqj2  14493  latjlej2  14495  latnle  14514  latmlej12  14520  latj12  14525  latj32  14526  latj13  14527  latj31  14528  latj4rot  14531  mod2ile  14535  latdisdlem  14615  olj02  30024  omllaw4  30044  cmt2N  30048  cmtbr3N  30052  cvlexch2  30127  cvlexchb2  30129  cvlatexchb2  30133  cvlatexch2  30135  cvlatexch3  30136  cvlatcvr2  30140  cvlsupr2  30141  cvlsupr7  30146  cvlsupr8  30147  hlatjcom  30165  hlrelat5N  30198  cvrval5  30212  cvrexch  30217  cvratlem  30218  cvrat  30219  2atlt  30236  cvrat3  30239  cvrat4  30240  cvrat42  30241  4noncolr3  30250  1cvrat  30273  3atlem1  30280  4atlem4d  30399  4atlem12  30409  paddcom  30610  paddasslem2  30618  pmapjat2  30651  atmod2i1  30658  atmod2i2  30659  llnmod2i2  30660  atmod4i1  30663  atmod4i2  30664  dalawlem4  30671  dalawlem9  30676  dalawlem12  30679  lhpjat2  30818  lhple  30839  trljat1  30963  trljat2  30964  cdlemc1  30988  cdlemc6  30993  cdlemd1  30995  cdleme5  31037  cdleme9  31050  cdleme10  31051  cdleme19e  31104  trlcolem  31523  trljco2  31538  cdlemk7  31645  cdlemk7u  31667  cdlemkid1  31719  dih1  32084  dihjatc2N  32110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-join 14433  df-lat 14475
  Copyright terms: Public domain W3C validator