MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Unicode version

Theorem latjle12 14418
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 22859 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjle12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14406 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
433adant3r3 1164 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
5 latpos 14405 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
6 latlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2joinle 14377 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
85, 7syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
94, 8mpd3an3 1280 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   Posetcpo 14324   joincjn 14328   Latclat 14401
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14419  latjlej1  14421  latjidm  14430  latledi  14445  latjass  14451  mod1ile  14461  lubun  14477  lubunNEW  29088  oldmm1  29332  olj01  29340  cvlexchb1  29445  cvlcvr1  29454  hlrelat  29516  hlrelat2  29517  exatleN  29518  hlrelat3  29526  cvrexchlem  29533  cvratlem  29535  cvrat  29536  atlelt  29552  ps-1  29591  hlatexch3N  29594  hlatexch4  29595  3atlem1  29597  3atlem2  29598  lplnexllnN  29678  2llnjaN  29680  4atlem3  29710  4atlem10  29720  4atlem11b  29722  4atlem11  29723  4atlem12b  29725  4atlem12  29726  2lplnja  29733  dalem1  29773  dalem3  29778  dalem8  29784  dalem16  29793  dalem17  29794  dalem21  29808  dalem25  29812  dalem39  29825  dalem54  29840  dalem60  29846  linepsubN  29866  pmapsub  29882  lneq2at  29892  2llnma3r  29902  cdlema1N  29905  cdlemblem  29907  paddasslem5  29938  paddasslem12  29945  paddasslem13  29946  llnexchb2  29983  dalawlem3  29987  dalawlem5  29989  dalawlem8  29992  dalawlem11  29995  dalawlem12  29996  lhp2lt  30115  lhpexle2lem  30123  lhpexle3lem  30125  4atexlemtlw  30181  4atexlemnclw  30184  lautj  30207  cdlemd3  30314  cdleme3g  30348  cdleme3h  30349  cdleme7d  30360  cdleme11c  30375  cdleme15d  30391  cdleme17b  30401  cdleme19a  30417  cdleme20j  30432  cdleme21c  30441  cdleme22b  30455  cdleme22d  30457  cdleme28a  30484  cdleme35a  30562  cdleme35fnpq  30563  cdleme35b  30564  cdleme35f  30568  cdleme42c  30586  cdleme42i  30597  cdlemf1  30675  cdlemg4c  30726  cdlemg6c  30734  cdlemg8b  30742  cdlemg10  30755  cdlemg11b  30756  cdlemg13a  30765  cdlemg17a  30775  cdlemg18b  30793  cdlemg27a  30806  cdlemg33b0  30815  cdlemg35  30827  cdlemg42  30843  cdlemg46  30849  trljco  30854  tendopltp  30894  cdlemk3  30947  cdlemk10  30957  cdlemk1u  30973  cdlemk39  31030  dialss  31161  dia2dimlem1  31179  dia2dimlem10  31188  dia2dimlem12  31190  cdlemm10N  31233  djajN  31252  diblss  31285  cdlemn2  31310  dihord2pre2  31341  dib2dim  31358  dih2dimb  31359  dih2dimbALTN  31360  dihmeetlem6  31424  dihjatcclem1  31533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-lub 14358  df-join 14360  df-lat 14402
  Copyright terms: Public domain W3C validator