MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Unicode version

Theorem latjle12 14184
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 22104 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjle12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14172 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
433adant3r3 1162 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
5 latpos 14171 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
6 latlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2joinle 14143 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
85, 7syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
94, 8mpd3an3 1278 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   joincjn 14094   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14185  latjlej1  14187  latjidm  14196  latledi  14211  latjass  14217  mod1ile  14227  lubun  14243  lubunNEW  29785  oldmm1  30029  olj01  30037  cvlexchb1  30142  cvlcvr1  30151  hlrelat  30213  hlrelat2  30214  exatleN  30215  hlrelat3  30223  cvrexchlem  30230  cvratlem  30232  cvrat  30233  atlelt  30249  ps-1  30288  hlatexch3N  30291  hlatexch4  30292  3atlem1  30294  3atlem2  30295  lplnexllnN  30375  2llnjaN  30377  4atlem3  30407  4atlem10  30417  4atlem11b  30419  4atlem11  30420  4atlem12b  30422  4atlem12  30423  2lplnja  30430  dalem1  30470  dalem3  30475  dalem8  30481  dalem16  30490  dalem17  30491  dalem21  30505  dalem25  30509  dalem39  30522  dalem54  30537  dalem60  30543  linepsubN  30563  pmapsub  30579  lneq2at  30589  2llnma3r  30599  cdlema1N  30602  cdlemblem  30604  paddasslem5  30635  paddasslem12  30642  paddasslem13  30643  llnexchb2  30680  dalawlem3  30684  dalawlem5  30686  dalawlem8  30689  dalawlem11  30692  dalawlem12  30693  lhp2lt  30812  lhpexle2lem  30820  lhpexle3lem  30822  4atexlemtlw  30878  4atexlemnclw  30881  lautj  30904  cdlemd3  31011  cdleme3g  31045  cdleme3h  31046  cdleme7d  31057  cdleme11c  31072  cdleme15d  31088  cdleme17b  31098  cdleme19a  31114  cdleme20j  31129  cdleme21c  31138  cdleme22b  31152  cdleme22d  31154  cdleme28a  31181  cdleme35a  31259  cdleme35fnpq  31260  cdleme35b  31261  cdleme35f  31265  cdleme42c  31283  cdleme42i  31294  cdlemf1  31372  cdlemg4c  31423  cdlemg6c  31431  cdlemg8b  31439  cdlemg10  31452  cdlemg11b  31453  cdlemg13a  31462  cdlemg17a  31472  cdlemg18b  31490  cdlemg27a  31503  cdlemg33b0  31512  cdlemg35  31524  cdlemg42  31540  cdlemg46  31546  trljco  31551  tendopltp  31591  cdlemk3  31644  cdlemk10  31654  cdlemk1u  31670  cdlemk39  31727  dialss  31858  dia2dimlem1  31876  dia2dimlem10  31885  dia2dimlem12  31887  cdlemm10N  31930  djajN  31949  diblss  31982  cdlemn2  32007  dihord2pre2  32038  dib2dim  32055  dih2dimb  32056  dih2dimbALTN  32057  dihmeetlem6  32121  dihjatcclem1  32230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator