MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Unicode version

Theorem latjle12 14168
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 22088 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjle12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14156 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
433adant3r3 1162 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
5 latpos 14155 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
6 latlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2joinle 14127 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
85, 7syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
94, 8mpd3an3 1278 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   joincjn 14078   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14169  latjlej1  14171  latjidm  14180  latledi  14195  latjass  14201  mod1ile  14211  lubun  14227  lubunNEW  29163  oldmm1  29407  olj01  29415  cvlexchb1  29520  cvlcvr1  29529  hlrelat  29591  hlrelat2  29592  exatleN  29593  hlrelat3  29601  cvrexchlem  29608  cvratlem  29610  cvrat  29611  atlelt  29627  ps-1  29666  hlatexch3N  29669  hlatexch4  29670  3atlem1  29672  3atlem2  29673  lplnexllnN  29753  2llnjaN  29755  4atlem3  29785  4atlem10  29795  4atlem11b  29797  4atlem11  29798  4atlem12b  29800  4atlem12  29801  2lplnja  29808  dalem1  29848  dalem3  29853  dalem8  29859  dalem16  29868  dalem17  29869  dalem21  29883  dalem25  29887  dalem39  29900  dalem54  29915  dalem60  29921  linepsubN  29941  pmapsub  29957  lneq2at  29967  2llnma3r  29977  cdlema1N  29980  cdlemblem  29982  paddasslem5  30013  paddasslem12  30020  paddasslem13  30021  llnexchb2  30058  dalawlem3  30062  dalawlem5  30064  dalawlem8  30067  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  lhp2lt  30190  lhpexle2lem  30198  lhpexle3lem  30200  4atexlemtlw  30256  4atexlemnclw  30259  lautj  30282  cdlemd3  30389  cdleme3g  30423  cdleme3h  30424  cdleme7d  30435  cdleme11c  30450  cdleme15d  30466  cdleme17b  30476  cdleme19a  30492  cdleme20j  30507  cdleme21c  30516  cdleme22b  30530  cdleme22d  30532  cdleme28a  30559  cdleme35a  30637  cdleme35fnpq  30638  cdleme35b  30639  cdleme35f  30643  cdleme42c  30661  cdleme42i  30672  cdlemf1  30750  cdlemg4c  30801  cdlemg6c  30809  cdlemg8b  30817  cdlemg10  30830  cdlemg11b  30831  cdlemg13a  30840  cdlemg17a  30850  cdlemg18b  30868  cdlemg27a  30881  cdlemg33b0  30890  cdlemg35  30902  cdlemg42  30918  cdlemg46  30924  trljco  30929  tendopltp  30969  cdlemk3  31022  cdlemk10  31032  cdlemk1u  31048  cdlemk39  31105  dialss  31236  dia2dimlem1  31254  dia2dimlem10  31263  dia2dimlem12  31265  cdlemm10N  31308  djajN  31327  diblss  31360  cdlemn2  31385  dihord2pre2  31416  dib2dim  31433  dih2dimb  31434  dih2dimbALTN  31435  dihmeetlem6  31499  dihjatcclem1  31608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator