MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Structured version   Unicode version

Theorem latjle12 14483
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 23003 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjle12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14471 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
433adant3r3 1164 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
5 latpos 14470 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
6 latlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2joinle 14442 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
85, 7syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
94, 8mpd3an3 1280 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   Posetcpo 14389   joincjn 14393   Latclat 14466
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14484  latjlej1  14486  latjidm  14495  latledi  14510  latjass  14516  mod1ile  14526  lubun  14542  lubunNEW  29698  oldmm1  29942  olj01  29950  cvlexchb1  30055  cvlcvr1  30064  hlrelat  30126  hlrelat2  30127  exatleN  30128  hlrelat3  30136  cvrexchlem  30143  cvratlem  30145  cvrat  30146  atlelt  30162  ps-1  30201  hlatexch3N  30204  hlatexch4  30205  3atlem1  30207  3atlem2  30208  lplnexllnN  30288  2llnjaN  30290  4atlem3  30320  4atlem10  30330  4atlem11b  30332  4atlem11  30333  4atlem12b  30335  4atlem12  30336  2lplnja  30343  dalem1  30383  dalem3  30388  dalem8  30394  dalem16  30403  dalem17  30404  dalem21  30418  dalem25  30422  dalem39  30435  dalem54  30450  dalem60  30456  linepsubN  30476  pmapsub  30492  lneq2at  30502  2llnma3r  30512  cdlema1N  30515  cdlemblem  30517  paddasslem5  30548  paddasslem12  30555  paddasslem13  30556  llnexchb2  30593  dalawlem3  30597  dalawlem5  30599  dalawlem8  30602  dalawlem11  30605  dalawlem12  30606  lhp2lt  30725  lhpexle2lem  30733  lhpexle3lem  30735  4atexlemtlw  30791  4atexlemnclw  30794  lautj  30817  cdlemd3  30924  cdleme3g  30958  cdleme3h  30959  cdleme7d  30970  cdleme11c  30985  cdleme15d  31001  cdleme17b  31011  cdleme19a  31027  cdleme20j  31042  cdleme21c  31051  cdleme22b  31065  cdleme22d  31067  cdleme28a  31094  cdleme35a  31172  cdleme35fnpq  31173  cdleme35b  31174  cdleme35f  31178  cdleme42c  31196  cdleme42i  31207  cdlemf1  31285  cdlemg4c  31336  cdlemg6c  31344  cdlemg8b  31352  cdlemg10  31365  cdlemg11b  31366  cdlemg13a  31375  cdlemg17a  31385  cdlemg18b  31403  cdlemg27a  31416  cdlemg33b0  31425  cdlemg35  31437  cdlemg42  31453  cdlemg46  31459  trljco  31464  tendopltp  31504  cdlemk3  31557  cdlemk10  31567  cdlemk1u  31583  cdlemk39  31640  dialss  31771  dia2dimlem1  31789  dia2dimlem10  31798  dia2dimlem12  31800  cdlemm10N  31843  djajN  31862  diblss  31895  cdlemn2  31920  dihord2pre2  31951  dib2dim  31968  dih2dimb  31969  dih2dimbALTN  31970  dihmeetlem6  32034  dihjatcclem1  32143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467
  Copyright terms: Public domain W3C validator