MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej2 Unicode version

Theorem latjlej2 14424
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej2i 22826 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( Z  .\/  X )  .<_  ( Z  .\/  Y ) ) )

Proof of Theorem latjlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3latjlej1 14423 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  .\/  Z )  .<_  ( Y  .\/  Z ) ) )
51, 3latjcom 14417 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Z
)  =  ( Z 
.\/  X ) )
653adant3r2 1163 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Z )  =  ( Z  .\/  X
) )
71, 3latjcom 14417 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  =  ( Z 
.\/  Y ) )
873adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  =  ( Z  .\/  Y
) )
96, 8breq12d 4168 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Z
)  .<_  ( Y  .\/  Z )  <->  ( Z  .\/  X )  .<_  ( Z  .\/  Y ) ) )
104, 9sylibd 206 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( Z  .\/  X )  .<_  ( Z  .\/  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   lecple 13465   joincjn 14330   Latclat 14403
This theorem is referenced by:  latjlej12  14425  cvrat3  29558  2llnjaN  29682  2lplnja  29735  dalawlem3  29989  dalawlem6  29992  dalawlem11  29997  lhpj1  30138  cdleme1  30343  cdleme9  30369  cdleme11g  30381  cdleme28a  30486  cdleme30a  30494  cdleme32c  30559  cdlemi1  30934  cdlemk11  30965  cdlemk11u  30987  cdlemk51  31069  cdlemm10N  31235  cdlemn10  31323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-lub 14360  df-join 14362  df-lat 14404
  Copyright terms: Public domain W3C validator