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Theorem latleeqj1 14169
Description: Less-than-or-equal-to in terms of join. (chlejb1 22091 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latleeqj1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )

Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2latref 14159 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
433adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  Y )
54biantrud 493 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y ) ) )
6 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
7 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
9 latlej.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
101, 2, 9latjle12 14168 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Y ) )
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Y ) )
125, 11bitrd 244 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Y ) )
131, 2, 9latlej2 14167 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
1413biantrud 493 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  <->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
1512, 14bitrd 244 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) ) )
16 latpos 14155 . . . 4  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
17163ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
181, 9latjcl 14156 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
191, 2posasymb 14086 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )
2017, 18, 8, 19syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Y  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  <-> 
( X  .\/  Y
)  =  Y ) )
2115, 20bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  .\/  Y )  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   joincjn 14078   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latleeqj2  14170  latnle  14191  cvlsupr2  29533  hlrelat5N  29590  3dim3  29658  dalem-cly  29860  dalem44  29905  cdleme30a  30567
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152
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