MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Unicode version

Theorem latlej1 14166
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 22086 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14156 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin1 14125 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latjlej1  14171  latnlej  14174  latnlej2  14177  latjidm  14180  latnle  14191  latabs2  14194  latmlej11  14196  latjass  14201  mod1ile  14211  lubun  14227  lubunNEW  29163  oldmm1  29407  olj01  29415  omllaw5N  29437  cvlexchb1  29520  cvlsupr2  29533  cvlsupr7  29538  hlatlej1  29564  hlrelat5N  29590  2atjm  29634  2llnmj  29749  lplnexllnN  29753  2llnjaN  29755  2llnm2N  29757  4atlem3a  29786  2lplnja  29808  2lplnm2N  29810  2lplnmj  29811  dalemply  29843  dalemsly  29844  dalem10  29862  dalem13  29865  dalem21  29883  dalem55  29916  2llnma1b  29975  cdlema1N  29980  elpaddn0  29989  paddasslem12  30020  paddasslem13  30021  pmapjoin  30041  dalawlem2  30061  dalawlem7  30066  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  lhpmcvr3  30214  lhpmcvr5N  30216  lhpmcvr6N  30217  lautj  30282  trljat1  30355  cdlemc1  30380  cdlemc4  30383  cdleme1  30416  cdleme8  30439  cdleme11g  30454  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme23b  30539  cdleme23c  30540  cdleme27N  30558  cdleme30a  30567  cdleme35fnpq  30638  cdleme35b  30639  cdleme35c  30640  cdleme42h  30671  cdleme42i  30672  cdleme48bw  30691  cdlemg2fv2  30789  cdlemg7fvbwN  30796  cdlemg8b  30817  cdlemg11b  30831  trlcolem  30915  trljco  30929  cdlemi1  31007  cdlemk48  31139  cdlemn2  31385  dihjustlem  31406  dihord1  31408  dihord5apre  31452  dihglbcpreN  31490  dihmeetlem3N  31495  dihmeetlem11N  31507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator