MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Unicode version

Theorem latlej1 14182
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 22102 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14172 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin1 14141 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  latjlej1  14187  latnlej  14190  latnlej2  14193  latjidm  14196  latnle  14207  latabs2  14210  latmlej11  14212  latjass  14217  mod1ile  14227  lubun  14243  lubunNEW  29785  oldmm1  30029  olj01  30037  omllaw5N  30059  cvlexchb1  30142  cvlsupr2  30155  cvlsupr7  30160  hlatlej1  30186  hlrelat5N  30212  2atjm  30256  2llnmj  30371  lplnexllnN  30375  2llnjaN  30377  2llnm2N  30379  4atlem3a  30408  2lplnja  30430  2lplnm2N  30432  2lplnmj  30433  dalemply  30465  dalemsly  30466  dalem10  30484  dalem13  30487  dalem21  30505  dalem55  30538  2llnma1b  30597  cdlema1N  30602  elpaddn0  30611  paddasslem12  30642  paddasslem13  30643  pmapjoin  30663  dalawlem2  30683  dalawlem7  30688  dalawlem11  30692  dalawlem12  30693  lhpmcvr3  30836  lhpmcvr5N  30838  lhpmcvr6N  30839  lautj  30904  trljat1  30977  cdlemc1  31002  cdlemc4  31005  cdleme1  31038  cdleme8  31061  cdleme11g  31076  cdleme22e  31155  cdleme22eALTN  31156  cdleme23b  31161  cdleme23c  31162  cdleme27N  31180  cdleme30a  31189  cdleme35fnpq  31260  cdleme35b  31261  cdleme35c  31262  cdleme42h  31293  cdleme42i  31294  cdleme48bw  31313  cdlemg2fv2  31411  cdlemg7fvbwN  31418  cdlemg8b  31439  cdlemg11b  31453  trlcolem  31537  trljco  31551  cdlemi1  31629  cdlemk48  31761  cdlemn2  32007  dihjustlem  32028  dihord1  32030  dihord5apre  32074  dihglbcpreN  32112  dihmeetlem3N  32117  dihmeetlem11N  32129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator