MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Structured version   Unicode version

Theorem latlej1 14489
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 23009 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14479 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin1 14448 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   Latclat 14474
This theorem is referenced by:  latjlej1  14494  latnlej  14497  latnlej2  14500  latjidm  14503  latnle  14514  latabs2  14517  latmlej11  14519  latjass  14524  mod1ile  14534  lubun  14550  lubunNEW  29771  oldmm1  30015  olj01  30023  omllaw5N  30045  cvlexchb1  30128  cvlsupr2  30141  cvlsupr7  30146  hlatlej1  30172  hlrelat5N  30198  2atjm  30242  2llnmj  30357  lplnexllnN  30361  2llnjaN  30363  2llnm2N  30365  4atlem3a  30394  2lplnja  30416  2lplnm2N  30418  2lplnmj  30419  dalemply  30451  dalemsly  30452  dalem10  30470  dalem13  30473  dalem21  30491  dalem55  30524  2llnma1b  30583  cdlema1N  30588  elpaddn0  30597  paddasslem12  30628  paddasslem13  30629  pmapjoin  30649  dalawlem2  30669  dalawlem7  30674  dalawlem11  30678  dalawlem12  30679  lhpmcvr3  30822  lhpmcvr5N  30824  lhpmcvr6N  30825  lautj  30890  trljat1  30963  cdlemc1  30988  cdlemc4  30991  cdleme1  31024  cdleme8  31047  cdleme11g  31062  cdleme22e  31141  cdleme22eALTN  31142  cdleme23b  31147  cdleme23c  31148  cdleme27N  31166  cdleme30a  31175  cdleme35fnpq  31246  cdleme35b  31247  cdleme35c  31248  cdleme42h  31279  cdleme42i  31280  cdleme48bw  31299  cdlemg2fv2  31397  cdlemg7fvbwN  31404  cdlemg8b  31425  cdlemg11b  31439  trlcolem  31523  trljco  31537  cdlemi1  31615  cdlemk48  31747  cdlemn2  31993  dihjustlem  32014  dihord1  32016  dihord5apre  32060  dihglbcpreN  32098  dihmeetlem3N  32103  dihmeetlem11N  32115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-lub 14431  df-join 14433  df-lat 14475
  Copyright terms: Public domain W3C validator