MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Unicode version

Theorem latlej2 14183
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 22103 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14172 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin2 14142 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14185  latjlej1  14187  latnlej  14190  latnlej2  14193  latjass  14217  lubun  14243  lubunNEW  29785  oldmm1  30029  cmtcomlemN  30060  cmtbr4N  30067  cvlexchb1  30142  cvlatexch1  30148  cvrval5  30226  2llnjaN  30377  4atlem3b  30409  2lplnja  30430  dalem5  30478  dalem17  30491  dalem39  30522  dalem43  30526  elpaddn0  30611  pmapjoin  30663  dalawlem2  30683  dalawlem11  30692  dalawlem12  30693  lautj  30904  trljat2  30978  cdleme0cq  31026  cdleme1  31038  cdleme3  31048  cdleme5  31051  cdleme7ga  31059  cdleme10  31065  cdleme15b  31086  cdleme16b  31090  cdleme20k  31130  cdleme22e  31155  cdleme22eALTN  31156  cdleme23c  31162  cdleme28a  31181  cdleme32e  31256  cdleme35a  31259  cdlemg4c  31423  cdlemg6c  31431  trlcolem  31537  cdlemi1  31629  dia2dimlem2  31877  cdlemm10N  31930  dihord2pre2  32038  dihord5apre  32074  dihjatc1  32123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator