MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Unicode version

Theorem latlej2 14167
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 22087 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14156 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin2 14126 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14169  latjlej1  14171  latnlej  14174  latnlej2  14177  latjass  14201  lubun  14227  lubunNEW  29163  oldmm1  29407  cmtcomlemN  29438  cmtbr4N  29445  cvlexchb1  29520  cvlatexch1  29526  cvrval5  29604  2llnjaN  29755  4atlem3b  29787  2lplnja  29808  dalem5  29856  dalem17  29869  dalem39  29900  dalem43  29904  elpaddn0  29989  pmapjoin  30041  dalawlem2  30061  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  lautj  30282  trljat2  30356  cdleme0cq  30404  cdleme1  30416  cdleme3  30426  cdleme5  30429  cdleme7ga  30437  cdleme10  30443  cdleme15b  30464  cdleme16b  30468  cdleme20k  30508  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme23c  30540  cdleme28a  30559  cdleme32e  30634  cdleme35a  30637  cdlemg4c  30801  cdlemg6c  30809  trlcolem  30915  cdlemi1  31007  dia2dimlem2  31255  cdlemm10N  31308  dihord2pre2  31416  dihord5apre  31452  dihjatc1  31501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator