MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Unicode version

Theorem latmcom 14230
Description: The join of a lattice commutes. (incom 3395 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmcom.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmcom  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 latmcom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmcom.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14206 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
41, 2latmcl 14206 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  ./\  X
)  e.  B )
543com23 1157 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  ./\  X
)  e.  B )
63, 5jca 518 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( Y  ./\  X )  e.  B ) )
7 latpos 14204 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
81, 2meetcom 14187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( Y  ./\  X )  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( Y 
./\  X ) )
97, 8syl3anl1 1230 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( Y  ./\  X )  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( Y 
./\  X ) )
106, 9mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   Posetcpo 14123   meetcmee 14128   Latclat 14200
This theorem is referenced by:  latleeqm2  14235  latmlem2  14237  latmlej21  14247  latmlej22  14248  mod2ile  14261  olm12  29236  latm12  29238  latm32  29239  latmrot  29240  olm02  29245  omllaw2N  29252  cmtcomlemN  29256  cmtbr3N  29262  omlfh1N  29266  omlmod1i2N  29268  omlspjN  29269  cvlcvrp  29348  intnatN  29414  cvrexch  29427  cvrat4  29450  2atjm  29452  1cvrat  29483  2at0mat0  29532  dalem4  29672  dalem56  29735  atmod2i1  29868  atmod2i2  29869  llnmod2i2  29870  atmod3i1  29871  atmod3i2  29872  llnexchb2lem  29875  dalawlem3  29880  dalawlem4  29881  dalawlem6  29883  dalawlem9  29886  dalawlem11  29888  dalawlem12  29889  dalawlem15  29892  lhpmcvr  30030  4atexlemc  30076  cdleme20zN  30308  cdleme20d  30319  cdleme20l  30329  cdleme20m  30330  cdlemg12  30657  cdlemg17  30684  cdlemg19  30691  cdlemg44a  30738  dihmeetlem17N  31331  dihmeetlem20N  31334  dihmeetALTN  31335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-meet 14160  df-lat 14201
  Copyright terms: Public domain W3C validator