MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Unicode version

Theorem latmcom 14505
Description: The join of a lattice commutes. (incom 3534 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmcom.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmcom  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 latmcom.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmcom.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14481 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
41, 2latmcl 14481 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  ./\  X
)  e.  B )
543com23 1160 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  ./\  X
)  e.  B )
63, 5jca 520 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( Y  ./\  X )  e.  B ) )
7 latpos 14479 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
81, 2meetcom 14462 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( Y  ./\  X )  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( Y 
./\  X ) )
97, 8syl3anl1 1233 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( Y  ./\  X )  e.  B ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( Y 
./\  X ) )
106, 9mpdan 651 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( Y 
./\  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   Posetcpo 14398   meetcmee 14403   Latclat 14475
This theorem is referenced by:  latleeqm2  14510  latmlem2  14512  latmlej21  14522  latmlej22  14523  mod2ile  14536  olm12  30027  latm12  30029  latm32  30030  latmrot  30031  olm02  30036  omllaw2N  30043  cmtcomlemN  30047  cmtbr3N  30053  omlfh1N  30057  omlmod1i2N  30059  omlspjN  30060  cvlcvrp  30139  intnatN  30205  cvrexch  30218  cvrat4  30241  2atjm  30243  1cvrat  30274  2at0mat0  30323  dalem4  30463  dalem56  30526  atmod2i1  30659  atmod2i2  30660  llnmod2i2  30661  atmod3i1  30662  atmod3i2  30663  llnexchb2lem  30666  dalawlem3  30671  dalawlem4  30672  dalawlem6  30674  dalawlem9  30677  dalawlem11  30679  dalawlem12  30680  dalawlem15  30683  lhpmcvr  30821  4atexlemc  30867  cdleme20zN  31099  cdleme20d  31110  cdleme20l  31120  cdleme20m  31121  cdlemg12  31448  cdlemg17  31475  cdlemg19  31482  cdlemg44a  31529  dihmeetlem17N  32122  dihmeetlem20N  32125  dihmeetALTN  32126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-meet 14435  df-lat 14476
  Copyright terms: Public domain W3C validator