MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Structured version   Unicode version

Theorem latmle1 14505
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3561 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14480 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14455 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   meetcmee 14402   Latclat 14474
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14508  latmlem1  14510  latnlemlt  14513  latmidm  14515  latabs1  14516  latledi  14518  latmlej11  14519  oldmm1  30015  cmtbr3N  30052  cmtbr4N  30053  lecmtN  30054  cvrat4  30240  2llnmat  30321  llnmlplnN  30336  dalem3  30461  dalem27  30496  dalem54  30523  dalem55  30524  2lnat  30581  cdlema1N  30588  llnexchb2lem  30665  dalawlem1  30668  dalawlem6  30673  dalawlem11  30678  dalawlem12  30679  4atexlemunv  30863  4atexlemc  30866  4atexlemnclw  30867  4atexlemex2  30868  4atexlemcnd  30869  lautm  30891  trlval3  30984  cdlemeulpq  31017  cdleme3h  31032  cdleme4a  31036  cdleme9  31050  cdleme11g  31062  cdleme13  31069  cdleme16e  31079  cdlemednpq  31096  cdleme19b  31101  cdleme20e  31110  cdleme20j  31115  cdleme22cN  31139  cdleme22e  31141  cdleme22eALTN  31142  cdleme22g  31145  cdleme35b  31247  cdleme35f  31251  cdlemeg46vrg  31324  cdlemg11b  31439  cdlemg12f  31445  cdlemg19a  31480  cdlemg31a  31494  cdlemk12  31647  cdlemkole  31650  cdlemk12u  31669  cdlemk37  31711  dia2dimlem1  31862  dihopelvalcpre  32046  dihmeetlem1N  32088  dihglblem5apreN  32089  dihglblem2N  32092  dihmeetlem2N  32097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-glb 14432  df-meet 14434  df-lat 14475
  Copyright terms: Public domain W3C validator