MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Unicode version

Theorem latmle1 14182
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3389 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14157 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14132 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   meetcmee 14079   Latclat 14151
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14185  latmlem1  14187  latnlemlt  14190  latmidm  14192  latabs1  14193  latledi  14195  latmlej11  14196  oldmm1  29407  cmtbr3N  29444  cmtbr4N  29445  lecmtN  29446  cvrat4  29632  2llnmat  29713  llnmlplnN  29728  dalem3  29853  dalem27  29888  dalem54  29915  dalem55  29916  2lnat  29973  cdlema1N  29980  llnexchb2lem  30057  dalawlem1  30060  dalawlem6  30065  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  4atexlemunv  30255  4atexlemc  30258  4atexlemnclw  30259  4atexlemex2  30260  4atexlemcnd  30261  lautm  30283  trlval3  30376  cdlemeulpq  30409  cdleme3h  30424  cdleme4a  30428  cdleme9  30442  cdleme11g  30454  cdleme13  30461  cdleme16e  30471  cdlemednpq  30488  cdleme19b  30493  cdleme20e  30502  cdleme20j  30507  cdleme22cN  30531  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme22g  30537  cdleme35b  30639  cdleme35f  30643  cdlemeg46vrg  30716  cdlemg11b  30831  cdlemg12f  30837  cdlemg19a  30872  cdlemg31a  30886  cdlemk12  31039  cdlemkole  31042  cdlemk12u  31061  cdlemk37  31103  dia2dimlem1  31254  dihopelvalcpre  31438  dihmeetlem1N  31480  dihglblem5apreN  31481  dihglblem2N  31484  dihmeetlem2N  31489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-glb 14109  df-meet 14111  df-lat 14152
  Copyright terms: Public domain W3C validator