MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Unicode version

Theorem latmle1 14198
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3402 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14173 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14148 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   meetcmee 14095   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14201  latmlem1  14203  latnlemlt  14206  latmidm  14208  latabs1  14209  latledi  14211  latmlej11  14212  oldmm1  30029  cmtbr3N  30066  cmtbr4N  30067  lecmtN  30068  cvrat4  30254  2llnmat  30335  llnmlplnN  30350  dalem3  30475  dalem27  30510  dalem54  30537  dalem55  30538  2lnat  30595  cdlema1N  30602  llnexchb2lem  30679  dalawlem1  30682  dalawlem6  30687  dalawlem11  30692  dalawlem12  30693  4atexlemunv  30877  4atexlemc  30880  4atexlemnclw  30881  4atexlemex2  30882  4atexlemcnd  30883  lautm  30905  trlval3  30998  cdlemeulpq  31031  cdleme3h  31046  cdleme4a  31050  cdleme9  31064  cdleme11g  31076  cdleme13  31083  cdleme16e  31093  cdlemednpq  31110  cdleme19b  31115  cdleme20e  31124  cdleme20j  31129  cdleme22cN  31153  cdleme22e  31155  cdleme22eALTN  31156  cdleme22g  31159  cdleme35b  31261  cdleme35f  31265  cdlemeg46vrg  31338  cdlemg11b  31453  cdlemg12f  31459  cdlemg19a  31494  cdlemg31a  31508  cdlemk12  31661  cdlemkole  31664  cdlemk12u  31683  cdlemk37  31725  dia2dimlem1  31876  dihopelvalcpre  32060  dihmeetlem1N  32102  dihglblem5apreN  32103  dihglblem2N  32106  dihmeetlem2N  32111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-glb 14125  df-meet 14127  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator